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qui fixe deux limites comprenant l’accroissement de vitesse. Mais il est un cas 
particulier remarquable où l'inégalité (2) détermine p¢ — v, : c’est le cas où 
les deux limites M (ż,, £) etm(£,,t) sont égales entre elles; la fonction o (£) est 
alors susceptible d'intégration, d’après la définition de Riemann, et la va- 
t 
leur commune des deux limites est l'intégrale définie f o(t)dt; donc, 
to 
si la fonction + (t) est susceptible d'intégration, Von a 
t 
(3) = | ọ(t)dt. 
» Des considérations analogues aux précédentes peuvent étre appliquées 
au cas où la force F est connue en fonction de l’abscisse æ, F = 4 (<). 
» III. Supposons inversement que l’on connaisse la vitesse en fonction 
continue du temps v = f(£), et que l’on veuille les expressions des forces 
capables de produire le mouvement donné. Si la fonction f(#) admet une 
dérivée ọ(ć) susceptible d'intégration, on peut produire le mouvement con- 
sidéré en faisant agir sur le point une force F = p(t), ainsi qu'il résulte de 
l'équation (3). Mais on obtiendra encore le même mouvement en changeant 
la valeur de la force pour un nombre limité de valeurs de #, ce qui ne 
change pas l’intégrale (3); et nous démontrons que l’on peut même, sans 
modifier le mouvement, modifier la valeur de la force pour une infinité de 
valeurs de £, de façon que la nouvelle force cesse d’être une fonction sus- 
ceptible d'intégration. Si la fonction f (+) n'admet pas de dérivée, le mou- 
vement ne peut pas être produit par une force continue dans un intervalle 
si petit qu’il soit; car, si dans un intervalle la force était une fonction con- 
tinue de £, elle serait susceptible d'intégration, et, d’après (3), elle serait la 
dérivée de la vitesse, ce qui est contre l'hypothèse faite sur f(t). 
» IV. Pour appliquer les considérations du $ IT à un exemple, imaginons 
que la force F soit une fonction du temps qui prenne la valeur constante a 
pour les valeurs incommensurables de £ et une valeur différente b pour les 
valeurs commensurables (a >b). Dans ce cas, les deux limites M(£,, £) 
et m(t, t) sont a(ż — t) et b(t — to), et l'on a 
a(t—16)29 — V2 b(t— te): 
Des considérations particulières qu’il serait trop long d'indiquer ici per- 
mettent de montrer que l’on a 
v—v=a(t—t;) 
