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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'introduction des logarithmes dans les crité- 
riums qui déterminent une limite supérieure du nombre des racines d’une équa- 
lion qui sont comprises entre deux nombres donnés. Note de M. LAGUERRE, 
présentée par M. Hermite. 
« La proposition fondamentale, sur laq elle reposent presque toutes les 
régles qui déterminent une limite supérieure du nombre des racines d’une 
équation qui sont comprises entre deux nombres donnés, peut s'énoncer de 
la manière suivante : 
» Soit E(x) une fonction quelconque de x et telle que, dans son dévelop- 
pement, tous les coefficients soient positifs; soient de plus &,,4,,4;,.….,a, 
des quantités positives quelconques rangées par ordre décroissant de gran- 
deur., 
» Considérons l'équation 
AF(asx)+A,F(a,x)+...+A,F(a,x)= 0; 
désignons par m le nombre de ses racines (') positives et formons la suite 
des quantités 
Po= Ao PiS Aot Ån P5 AHA tÀ, oos 
Pr = A TA +. + A, 
» J'ai déjà montré que m était au plus égal au noé des variations r 
présente la suite 
Pos Pis P2» e CPE Pr 
Mais on peut obtenir une limite plus précise en tenant compte des valeurs 
numériques des coefficients ao, &,, -s @ns 
» On peut démontrer, en effet, que m est au plus égal au nombre des 
variations de la suite 
Go mi pe log DR, 
P log z> Pol08— + Ps logs Polog REE dii PTAR A B > 
. . . . . . , . . D . LA . . . L "$ 
. . . . . . . . D . . . . . * L . 
ln 
(*) J'entends, par racines de cette équation, les nombres par lesquels le premier membre 
est convergent et a pour valeur zéro. 
