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la manière suivante. Si l’on considère la fonction 
fax; y) = Voix; y) 
où ọ(x, y) désigne un polynôme du second degré, et que l’on développe 
f(x + hdx, y+ hdy) par la formule 
f(x +hdx, y+hdy)= f(x, 7) + hdf + = Bf +, 
les différentielles successives d°f, d'f, ... seront toutes divisibles par d?f. 
» Cette proposition si curieuse paraît, au premier abord, extrêmement 
limitative. Mais il est aisé de démontrer que, si la différentielle d'ordre 
n +1 d’une fonction de u variables est exactement divisible par la diffé- 
rentielle d'ordre z, la même propriété appartiendra aussi à toutes les dif- 
férentielles d'un ordre supérieur à n+ 1. 
» Je me suis proposé de rechercher toutes les fonctions de p. variables 
Xi, -.., Ly pour lesquelles une différentielle de rang déterminé est exac- 
tement divisible par la différentielle PRE c'est-à-dire pour lesquelles 
on à 
"an d (A, me. +..—+ A Done nd à 
quelles que soient les différentielles da, das. 
» L'équation précédente tient lieu d’autant d'équations qu’il y a de dé- 
rivées différentes d'ordre n + 1 de la fonction f. Si, entre ces équations, on 
éliminait les arbitraires A,, ..., A,, on serait conduit à un nombre plus ou 
moins grand d'équations aux dérivées partielles, auxquelles devrait satisfaire 
la fonction f, etqu'il s’agirait ISren An en d'effectuer cette élimination, 
j'ai préféré conserver les quautités A, et j'ai pris pour point de départ un 
système d'équations qui contient les dérivées ni" de f seulement, mais 
aussi les fonctions A; et leurs dérivées premières. C’est celui que l’on ob- 
tiendra en écrivant que les dérivées d'ordre n + 1 de f satisfont aux condi- 
tions d’intégrabilité, Toutes les équations de ce second système peuvent 
être écrites d’une manière condensée, comme il suit. 
» Désignons, pour abréger, par d”? f la différentielle rit” dont l'ex- 
pression symbolique est 
-> f} i a i 
drii (ax, Ja ge) (on ++) A 
