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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques exemples de réduction d’intégrales 
abéliennes aux intégrales elliptiques. Note de M. E. Picaro, préséutée 
par M. Hermite. 
« Une courbe du second genre étant donnée, où sait qu’une intégrale 
abélienne de première espèce relative à cette courbe a généralement quatre 
périodes, et on ne peut pas, en général, parmi ces intégrales, en trouver 
une qui possède moins de trois périôdes. Dans certains cas particuliers, il 
peut cependant arriver que certaines intégrales n'aient que deux périodes, 
et le premier exemple d’une telle réduction a été donné par Jacobi : si Yon 
pose 
R(z)= 2(1— z)(1— abz)(1 + az)(1 + bz), 
AS 4 3 
Re dz zdz l pu 
les deux intégrales j —— et Î — out seulement deux périodes. 
Zo VR(:) Zo VR (2) 
M. Hermite a depuis signalé un nouvel exemple de réduction : les deux 
intégrales précédentes n’auront de même que deux périodes, si l’on pose 
R(2)= (#2 a)(82 6az— b): 
» Daus deux Communications antérieures (février 1881), j'ai cherché à 
traiter d’uné manière générale le problème de la réduction, et montré no- 
tamment que, s’il existe une première intégrale, relative à une courbe du 
second genre, n’ayant que deux périodes, il y en aura nécessairement une 
seconde. Mon attention s’est trouvée récemment portée sur un exemple où 
la réduction à deux périodes n’a plus lieu seulement, comme dans les 
exemples précédents, pour deux intégrales particulières, mais pour une in- 
nité. | 
» Euvisageons en effet la courbe du second geure 
(1) J'=x(x—i1)(x— a), 
et considérons les deux intégrales de première espèce 
z (æ = i \dx f 7 dx 
à — Dr vu — 
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