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essentiel : tandis que les caractéristiques de l’équation (2) sont imagi- 
paires, celles de l'équation (r) sont réelles et représentées par les équations 
xeb ec. 
» L'équation (1), dont je me propose de poursuivre l’étude, jouit d'une 
propriété fondamentale qui, je crois, n’a pas encore été signalée ; elle ne 
change pas quand on soumet les variables x, y à une même substitution 
linéaire quelconque. Par conséquent, de toute intégrale particulière 
z= Q(x, 7), 
on pourra déduire la suivante : 
= © 
(= ztn my + metn, 
E 
Pz+q pY+9 
qui contiendra généralement trois constantes arbitraires. Par exemple, si 
l’on cherche les solutions fonctions de on trouve aisément l'intégrale par- 
5= (: —Z\"F (m, m, 2): 
» En effectuant une substitution linéaire, on obtiendra la solution plus 
générale 
(3) (ed =R F| m, m, DË =m], 
(Je) Fr er) 
ticulière 
qui a une grande importance dans la théorie de l'équation, et que Riemann 
a obtenue par des considérations indirectes. 
» L’équation (1) est la seule, parmi celles qui sont linéaires, qui jouisse 
de la propriété précédente. 
» Il résulte encore de cette première propriété que, si o(x, y) est une 
solution particulière de l’équation (1), il en sera de même des fonctions 
de h de 
0 
Jit a +y» a 
d an 
yY dx 
dy 
+y? 
Ainsi chaque intégrale particulière donnera naissance, et de diverses ma- 
nières, à une infinité de solutions nouvelles. 
» Voici une seconde propriété fondamentale de l'équation (1). Elle est 
