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un cas particulier d’une proposition relative à l'équation plus générale 
FESS F 1. 
jed e AT ERR 
sur laquelle je reviendrai. Désignons par z,, une intégrale particulière de 
l'équation (1), où l’on a remplacé m par m’. On aura 
OZ» Em Zm 
3 aaan —— — 3m 
m+i dx dy e Da 
? 
y 
c'est-à-dire que, si z,, désigne une solution quelconque de l'équation (1), le 
second membre de l'égalité précédente sera une solution de la même équa- 
tion où l’on aurait changé m et m +1. 
» Cette nouvelle propriété conduit à l'intégrale générale de l'équation (1), 
lorsque m est entier. Comme cette équation ne change pas lorsqu'on rem- 
place m par 1 — m, on peut toujours supposer la constante m positive 
toutes les fois qu'elle est réelle; et si elle est entière, on aura pour l’inté- 
grale générale 
2m—2 en 
3m= (2 — y)" us ==) 
dont le développement donne les résultats qu'Euler a fait connaître dans 
son Calcul intégral. 3 
» Lorsque la constante m n’est pas entière, la propriété précédente ra- 
mène l'intégration de l'équation (1) au cas où la partie réelle de mm serait 
comprise entre o et 1. 
» On obtient alors, par l'emploi des intégrales définies, la solution 
yY aD A TEE d a) da i 
( 4) = (y PA ay f w + LT. DT J (y du æ) f G — zen z)p"° 
qui a déjà été donnée sous une forme un peu différente par Poisson. 
» En général, lorsqu'on trouve, par un procédé quelconque, des inté- 
grales de la forme (4), on s'appuie sur ce qu’elles contiennent deux fonc- 
tions arbitraires pour affirmer que l’on a obtenu l'intégrale générale de 
l'équation à laquelle elles satisfont. Poisson a déjà mis en évidence le défaut 
de ce raisonnement, et il a fait connaître des formules qui paraissent con- 
tenir un nombre différent de fonctions arbitraires, suivant la manière dont 
on les écrit. 
» Il me semble que l'on pourrait modifier comme il suit la définition 
de l'intégrale générale donnée par Ampère. 
C. R., 1882, 2° Semestre. (T. XCV, N° 2.) _ 
