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» Cela posé, il est aisé de voir que des raisonnements analogues s’ap- 
pliquent au cas où les quantités z; se répartissent en plusieurs groupes, 
celles d'un même groupe satisfaisant à une même équation irréductible ; 
seulement, il faut maintenant supposer que, dans (1), toutes les expressions 
xs Wry ++ Lz dont les indices # se référent aux racines de l’un de ces 
groupes, soient multipliées par un même nombre N. C’est au théorème 
suivant qu'on se trouve ainsi conduit : 
» Lorsque s fonctions entières de z, irréductibles et différentes les unes des 
autres, sont représentées par f,(z), falz), ..., f,(z), que chacune d'elles soit de 
la forme (3) et à coefficients entiers; que les racines de f;= o soient désignées 
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par Zi, Z;, Z;, .…, et que l'on fasse 
Zeli=eh+ei+teüt..., 
aucune relation de la forme 
(4) NENIEN Sen + 4 UN, Ses — 
ne peut avoir lieu, No, N,,..., N; étant des entiers qui ne doivent pas tous étre 
nuls simultanément ; un seul cas d'exception se présente si l'une des fonctions 
f: est égale à z, par exemple f, = z, et qu'en méme temps 
N,+N,=—0, Fe — = eN 
» À l’aide de cette proposition, on peut encore établir l’impossibilité de 
votrerelation (1), en supposant maintenant que, z,, Z,, ...,z,, étant différents 
entre eux, soient des nombres rationnels ou des irrationnelles algébriques 
quelconques et en désignant de même par N; des nombres algébriques 
quelconques qui ne sont pas tous nuls simultanément; car on serait con- 
duit précisément à une relation de la forme (4) en multipliant le premier 
nombre (1) par toutes les expressions qui s’en déduisent par les substitu- 
tions formées avec les racines des équations f; = o satisfaites par les irra- 
tionnelles z et N. D'abord, il est vrai, ces nombres sont supposés en- 
tiers et les fonctions f, de la forme (3); mais on voit aisément que l’on 
peut laisser de côté cette restriction. De là ces conséquences particulières. 
» Le nombre x, rapport de la circonférence du cercle au diamètre, est un 
nombre transcendant, , 
» Les logarithmes népériens de tous les nombres rationnels, l'unité seule 
exceptée, et de toutes les irrationnelles algébriques, sont des nombres trans- 
cendants. » 
