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aura quatre positions d'équilibre, dont deux situées en dehors de la verti- 
cale, correspondant à l'équilibre stable. 
» Si l’on suppose qu’à l'instant initial, la vitesse relative étant nulle, le 
point mobile ne soit pas dans une des positions d'équilibre déterminées 
ci-dessus, il exécutera autour de la position d'équilibre stable la plus voi- 
sine une série d’oscillations périodiques, dont la loi s’exprime explicitement 
par les fonctions elliptiques. 
» Pour une faible vitesse d’entraînement, le mobile oscillera donc autour 
de la verticale. Pour de grandes vitesses, au contraire, il restera constam- 
ment du même côté de la verticale. Entre ces deux hypothèses extrêmes se 
trouve un cas de transition, où le mobile se rapproche indéfiniment de la 
verticale, sans jamais l’atteindre. 
» Ces préliminaires posés, M. Gilbert établit les équations du mouve- 
ment du gyroscope, en supposant que les deux anneaux aient une vitesse 
initiale nulle et que l’anneau extérieur soit assujetti à tourner autour d’un 
de ses diamètres, situé dans le plan méridien. 
» Il trouve tout d’abord que l'équilibre a lieu : 
» 1° Si l'axe du tore est parallèle à axe du monde; 
» 2° Si l'anneau extérieur a, par rapport au méridien, une vitesse de ro- 
tation égale et contraire à celle de ce méridien lui-même. 
» 3° Si la vitesse de rotation du tore a une valeur convenable. 
» M. Gilbert s'occupe ensuite de l'intégration des équations différen- 
tielles ; il montre qu’elle peut s’effectuer par les fonctions elliptiques dans 
les trois cas suivants : 
» 1° Si l'anneau extérieur du gyroscope est invariablement fixé au plan 
du méridien; 
» 2° S'il est invariablement fixé à l'anneau intérieur ; 
» 3° Si J’axe de rotation de l'anneau extérieur est dirigé suivant l’axe 
du monde, pourvu qu’on néglige, en outre, la masse des anneaux (*). 
» Dans chacun de ces trois cas, l’un des angles variables dont dépend 
la position du gyroscope est déterminé par une équation différentielle 
identique à celle dont dépend le mouvement d’un point pesant sur un 
cercle tournant autour d'un diamètre vertical. Cet angle subira donc des 
oscillations périodiques, dont la loi s'exprime par des fonctions elliptiques 
du temps. | 
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(+) Ces divers cas d intégrabilité étaient déjà connus. Dès l’année 1855, M. Yvon Villar- 
ceau avait traité le premier d’entre eux et l'avait ramené aux intégrales elliptiques. 
