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» II. THÉORÈMES DONNÉS PAR MaxwELL (Treatise on Electricity and Ma- 
gnetism, t. I, p. 160) Et par M. Mascarr (p. 45). — En un point d’une 
ligne d'équilibre, si la surface de niveau se compose de deux nappes, celles-ci se 
coupent à angle droit. — Si la surface de niveau se compose de n nappes, celles-ci 
se coupent successivement sous des angles égaux à ” 
» Un examen attentif des démonstrations données par les auteurs en 
question, pour ces deux théorèmes, montre qu’elles sont entièrement 
inexactes. Je donne ci-dessous une démonstration du dernier théorème, 
qui comprend le précédent comme cas particulier. 
» Prenons comme origine un point O de la ligne d’équilibre, comme 
axe des z la tangente à cette ligne, et menons dans le plan des æy un rayon 
vecteur OO’ de longueur p, faisant avec les axes Ox, Oy les angles ĝ et 
T . r r à . 4 
( — 6). Le potentiel en O’, développé suivant les puissances croissantes 
de », peut s'écrire 
V =V, +H, FH +H,+...+H,+..., 
en posant symboliquement 
Se + OV oy T 
m= A (Eesi), , 
avec la condition que, dans le développement du second membre, une 
i ALONE i Paan 
puissance quelconque telle que (Z) (5) soit remplacée par la dérivée 
Jo o 
o” Vy 
correspondante | |. 
P Oz? dy"); | 
» Si, en tous les points de la ligne d'équilibre, on a identiquement 
H=; Heo, s.s Himo; 
c'est-à-dire si toutes les dérivées d'ordre inférieur à z sont nulles, cette 
ligne est l'intersection de n nappes de la surface de niveau ; et, pour que le 
rayon OO’ soit tangent à l’une de ces nappes, il faut que l’on ait H, =0, 
ou 
(T) - [ (SE). coss + (5) sin Ji ssoi 
» Or, de l'équation de Laplace AV = o, on tire, par différentiation, 
o'y GLA 0"V 
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