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» Appelons y, Yes Vas se»nnles ordonnées aA, bB,cC,...,{L, h leur 
distance commune, S l’airecurviligne a ABCD s.. IEL, T le polygone inscrit 
gABCD .., ILL, M le polygone circonscrit à anglesrentrants 
ab, B,D,D,.. IL, 
somme des trapèzes abBB,, bcB,B, etc. 
» Formule des trapèzes: — 1L'aire Sest comprise entre M et T. Or, la dif- 
férence M — T est égale à la somme des triangles ABB,, BCB,, CDD,, . 
Par le point B, menons BX, prolongement de CB, By parallèle à DC, Bd 
parallèle à D, DD,, ..., B) parallèle à 1L; les points X, y, d, ..., à se 
trouvent sur a A prolongé au besoin. Les triangles ABB,, BCB,, CDD,, ..., 
dont la somme égale M — T, sont respectivement égaux à ABB,, B,BX, 
yB9, .... La somme de ceux-ci (partie hachurée de la figure) est inférieure 
au triangle ABX. On a donc M —T < AB, ou M < T + ABX. À fortiori, 
ST + AB), ou S< U, si nous posons U =T + AB}. Menons BP, IQ 
parallèlement à al et rencontrant aA, lL en P, Q. On aura évidemment 
U égal à laire du polygone aPBC ... IQ. D'où ce curieux théorème, 
démontré, comme on vient de le voir, en ne s'appuyant quesur le premier 
Livre des Éléments : 
» L'aire S est comprise entre le polygone inscrit T et le polygone U obtenu en 
remplaçant la première et la dernière ordonnée de T par la deuxième et l'avant- 
dernière. Analytiquement : 
k(iy, rs HAS +. ct Pat fa + SIn) 
LS LAGS + Tate + Pa t Su). 
» Le même théorème subsiste si la courbe tourne sa convexité vers al, et 
il est facile de le modifier dans le cas où les ordonnées ne sont pas équi- 
distantes. 
» De ce théorème il résulte que, si a pose approximativement > =T 
(formule des trapèzes), l'erreur commise est moindre que le triangle 
ABL=U-T = LA (Ye ns TT Ju). 
» Formule de Simpson. — Soit n impair. Posons 
AS + Ja Hs ERE Yu BE Pat Pit Yet 
On aura 
Iis h(A + B), M = 2AB. 
