$, 
( 476 ) 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Conditions pour que deux équ'itions différentielles 
linéaires sans second membre aient p solutions communes. Equation ne donne 
ces solutions. Note de M. H. LEMONNIER. 
« Soient considérées les N — p+ 2 équations suivantes du premier 
Kg homogènes en %,,æ,,...,x%, N étant égal à m+n—p, où les 
coefficients de æX sont nuls, excepté dans les deux équations extrêmes : 
As 0o Xot An Lyts t asy- Lx 4 F ONMX = O, 
Amai —p,o Lo F Amii-p Li + + dnri-pni Vy- + OX — O, 
LL. p AERE H.. Bnr. Ta 0, 
nn en DE NU ds, D ET Dors EE, 
Ps Lo + E +. Ser n Toar 0 Le nier Di 
D otot bit te + Dix Enit b, nto. 
Si, dans ce système (1), on supprime les deux équations extrêmes, le sys- 
tème qui s'ensuit se dira le système (2). 
Quand le déterminant A, ayant pour éléments de sa première somme 
les polynômes qui présentent les lignes du système (1) du premier terme 
jusqu’an terme en x,_, inclusivement, et pour éléments des colonnes sui- 
vantes respectivement les coefficients de £p, x,,,,...,æ,, est égal à zéro, 
mais que le déterminant A, des coefficients de £p, £pi, +- -, y- dans le 
système (2) est différent de zéro, le système (1) a une solution et une seule, 
en tantque æ,,...,x, s’y prennent pour inconnues et soient ainsi exprimées 
en fonction de leurs coefficients et des polynômnes ae précèdent les termes 
en xp. Il n’y a, d’ailleurs, une pareille solution qu’à ces conditions. Obser- 
vons encore que A est la somme de p déterminants d; de méme ordre que 
lui, respectivement multipliés par £o, £, ..., Lpi, lesquels ne diffèrent 
entre eux que par la première colonne. Lorsque ces p déterminants ð; sont 
nuls séparément, les quantités x,, x,,...,x,_, deviennent entièrement 
arbitraires. | 
» Cela posé, soient 
EE AE )=0, PAGES x)= 
deux équations différentielles linéaires sans second membre, d° ordres ! m 
et z, qui aient p solutions communes distinctes. 
