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» Revenant au paramètre A., imaginons qu’on décrive, autour du point 
(x, y, z) comme centre, une sphère d’un rayon infiniment petit r; et, p dé- 
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signant la valeur de la fonction en ce centre, appelons ọ' et +” ses valeurs 
aux deux extrémités du diamètre dont la direction est (a,b,c). La dérivée 
seconde (1), égale, par définition, à la valeur limite du rapport 
Lipit ahat Bi) 
r nm i1 
r 
qui mest autre que 2 (= Ae p)» sera sensiblement le produit de < par 
l'excédent, sur la valeur de pọ au centre, de la moyenne de ses deux valeurs 
aux extrémités du diamètre 2r. Par suite, si l’on appelle pọ, la moyenne gé- 
nérale des valeurs de la fonction sur toute la surface de la petite sphère, 
ou aux extrémités de tous les diamètres possibles, il viendra 
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» Donc, le paramètre différentiel du second ordre d'une fonction, en un point 
donné, égale le produit de l'accroissement moyen qu'elle éprouve autour de ce 
point, quand on s'en éloigne à une distance infiniment petite, par six fois l’ inverse 
du carré de celte distance. C’est justement parce que ce paramètre mesure ainsi 
laccroissement moyen de la fonction aulour du point qu'il en est la dérivée la 
plus naturelle, et que, par exemple, dans la théorie de la chaleur, où les 
échanges calorifiques se règlent d’après les différences de température, il 
exprime, à un facteur Site près, le gain total de la chaleur effectué 
par la molécule (x, 7, 3) sur ses voisines pendant un instant infiniment 
petit. 
» La formule (3), résolue par rapport à p,, donne les deux premiers 
termes du développement de cette fonction de x, y, z, r, suivant les puis- 
sances de r, Mais le même développement tout entier résulte de l'équation 
d? i 
aux dérivées partielles — 7 = A,(re,), que j'ai démontrée dans une Note 
du 2.00 1882 re rendus, t. XCIV, p. 1465). En effet, l’ordre des 
signes À = et A, pouvant s'intervertir, on aura, en différentiant deux fois, 
par Re à r, les deux membres de cette équation, 
drp, drp; 
dr* 3 an: 
0 x À eAa(rp = (4e) (rp)4 
