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les notationsétant les mêmes que dans une Note précédente du 13 mars 1882. 
» III. La démonstration de ces théorèmes, leur extension au cas où la 
courbe C serait formée de plusieurs arcs de cercle et leur application aux 
fonctions doublement périodiques seront données dans un Mémoire qui 
paraîtra prochainement. Je me borne à faire remarquer ici que les proposi- 
tions sur les fonctions uniformes doublement périodiques contenues dans 
le premier paragraphe de ma Note du 3 avril 1882 sont des cas particuliers 
des théorèmes que je viens d'indiquer. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fuchsiennes. Note 
de M. EE. Poixcané, présentée par M. Hermite. 
« Dans l'étude des fonctions fuchsiennes, j'ai envisagé des séries de la 
forme suivante : ` 
\ 5 [æ;z + 8; 2m s 
(1) D H E o + dy?” = 0(2), 
où H(z) est l'algorithme d’une fonction rationnelle, où (z, up) sont 
les différentes substitutions du groupe fuchsien envisagé, et où m est un 
entier plus grand que 1. 
» J'ai démontré que (pour une même valeur de m) le quotient de deux 
de ces séries est une fonction fuchsienne. Réciproquement, on peut se de- 
mander si toute fonction fuchsienne peut s'exprimer par un pareil quotient. 
Cette question se ramène à la suivante. J'ai dit déjà que toutes les fonc- 
tions fuchsiennes ayant même groupe peuvent s'exprimer rationnellement 
à l’aide de deux d'entre elles, que j'appelle x et y, et entre lesquelles ily 
a une relation algébrique, de sorte que toute série de la forme (1) peut 
être égalée à une expression telle que 
(2) (E) Ela y), 
où F(x, y) est l'algorithme d’une fonction rationnelle. 
» Réciproquement, toute fonction telle que (2) peut-elle être mise sous 
la forme (1)? Pour fixer les idées, je supposerai qu’il s’agit d'une de ces 
familles de fonctions fuchsiennes qui n’existent qu’à l’intérieur du cercle 
fondamental. Nous trouvons d'abord aisément que, pour pouvoir être mise 
sous la forme (1), l'expression (2) doit s’annuler quand z vient en un des 
sommets de la deuxième catégorie du polygone R,. : 
» Supposons une fois pour toutes cette condition remplie. 
