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» Les fonctions telles que (2) peuvent ou bien admettre des infinis 
(nous dirons alors qu’elles sont de la première espèce), ou bien n’en pas 
admettre, auquel cas elles seront de la deuxième espèce. De même, les 
séries telles que (1) seront (sauf des cas exceptionnels que nous laisserons 
de côté) de la première espèce, et auront des infinis si H(z) a des pôles à 
l’intérieur du cercle fondamental. Dans le cas contraire, elle sera de la 
deuxième espece et n’aura pas d’infini. 
» Je dis d’abord que toute expression de la forme (2) et de la deuxième 
espèce peut être égalée à une série de la forme (1) et de la deuxième espèce. 
En effet, on démontre que toutes les expressions de la forme (2) de la 
deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l’aide de p d’entre 
elles, p étant un nombre entier facile à déterminer. Le théorème énoncé 
sera donc démontré sij établis qu’il est possible de mettre sous la forme (1) 
p expressions telles que (2) linéairement indépendantes entre elles. Or, dire 
que cela est impossible, ce serait dire que toutes les séries (1) de la 
deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l’aide de p—1 d’entre 
elles. Mais je dis qu’il n’en est pas ainsi. i 
» En effet, supposons que toutes les séries (1) de la deuxième espece 
s'expriment linéairement à l’aide de p — 1 d’entre elles, que j'appellerai 0,, 
Ogre pere SOiENT Zis Za5e., 3 P points Choisis au hasard à l’intérieur du 
cercle (étre On pourra toujours trouver p nombres A,, As, ... An 
tels que l’on ait 
AO (SiP “A:0,(%;) ETHE Ap, (z,)=0, 
À ,02(3;) + A:02(22) +... A0, (3) =0, 
A ,6,_,(3;)+ A:0,4(22) +... H A,0p (29) = 0. 
On aura alors 
A,0{(3,)+A,0(m)+...4+A,0(z,) = 0, 
Ə(z) désignant une série quelconque de la forme (1) et de la deuxième 
espèce, 
» Cela posé, considérons la fonction suivante : 
Ver)?" 
D(sa)=Ÿ ma + 
g;a Sa a d; 
» Soit (z, 2) une quelconque des substitutions de notre groupe 
+" 
C.R., 1882, 2° Semestre. (T. XCV, N° 45.) 82 
