( 628 ) 
fuchsien, et posons 
(yz + 8)” — [ya E 
{z — ay + d "ya PA, E 
H(a) = 
On aura identiquement 
DÉS a) — (y3 +0} o(a, a) = X H (2+5) (na + D)" 0a) 
jia + d; 
o(a) désignant une série (1) de la deuxième espèce, où a est regardée 
comme la variable indépendante. Si donc on pose 
A(2)= A, D(z, 2,1) + A0(2,2)+...+ Ap? (3, Zp)» 
on aura 
À (s=) = pI AA]; 
12+ 
on en conclut que A(z) est de la forme 
(3) (E) Eley) | 
F étant rationnel. D'ailleurs l'expression (3) s’annule comme P expres- 
sion (2) quand z vient en un des sommets de la deuxième catégorie. Il 
serait donc possible de construire une fonction telle que (3), admettant 
p infinis, z,, Z2, ..., Zp choisis arbitrairement et n’en admettant pas d'autre. 
Or on démontre que cela ne se peut pas. Donc l’hypothèse faite au début 
est absurde. Donc toute expression (2) de la deuxième espèce peut sè 
mettre sous la forme (1). | 
» Je dis maintenant que toute expression (2) de la première espèce peut 
se mettre sous la forme (1) (en supposant toujours qu’elle s’annule quand 3 
vient en un sommet de la deuxième catégorie). En effet, on pourra tou- 
jours construire une série (1) ayant les mêmes infinis que l'expression (2); 
donnée avec les mêmes résidus. La différence de l'expression (2) donnée et 
de la série (1) ainsi formée sera une expression (2) de la deuxième apar 
qui pourra se mettre sous la forme (1). Il en sera donc de même de l'ex- 
pression (2) donnée. ee 
» Il résulte de ce qui précède que ‘toute fonction fuchsienne n'existan! 
qu’à l’intérieur du cercle fondamental peut s'exprimer d'une infinité de 
manières par le quotient de deux séries de la forme (1). Des principes ana- 
logues sont applicables aux fonctions fuchsiennes qui existent dans tout le 
plan. » 
