( 629) 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une série pour développer les fonctions 
d’une variable. Note de M. HaLpnex. 
« La série dont il s’agit procède suivant des polynômes entiers, employés 
déjà par M. Tchebychef (‘) et par M. Laguerre (2?) pour former une série 
toute différente. Ces polynômes étaient connus d’Abel, comme en témoigne 
une Note dans la récente édition de ses OEuvres (*). Voici leur définition 
générale : 
P,(æ) = — 
1.2...n da’ (re) 
n(r—1) adista) à 
=1— 4e TN (1.2.3) +” se 
J'en fais usage pour développer une fonction ainsi : 
D = A+ AP (Z) + AP; (5) + ce Malo (5) +, 
B étant une arbitraire, et les coefficients A, indépendants de x. Ces coeffi- 
cients se déterminent par la formule 
- a dn- H 
(2) Mrs f(nBx) (ter )dx. 
La fonction f n’y figure que sous un signe d'intégration. Néanmoins la 
série ne saurait représenter une fonction discontinue. Elle ne s'applique 
non plus à aucune fonction algébrique, hormis les polynômes entiers, ni 
aux transcendantes les plus usuelles, comme l’exponentielle ou le loga- 
rithme. 
» Pour que la série (1) s'applique à une fonction f(x), il faut et il suffit qu'il 
exisle des nombres æ rendant infiniment petit le produit 1.2.3.. .m. o” f™(æ 
pour m infiniment grand. 
» Si & peul étre pris au delà de toute limite, B est entièrement arbitraire; dans 
le cas opposé, B doit étre choisi entre certaines limites. Dans les deux cas, les 
formules (1), (2) sont exactes, quel que soit x. 
» Comme exemple du premier cas, citons, après les polynòmes entiers, 
(') Mélanges math. et astron., t. II, p. 182; Saint-Pétersbourg, 1859. 
(*) Bulletin de la Société math., t. VIL, p. 72. 
CE E p. 284. 
