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la fonction eV” + eV? + eV”, où w et 8 sont les racines cubiques imaginaires 
de lunité; et, du second cas, la fonction eV* + e-V*, pour laquelle le 
maximum de g est égal à 4. 
» Il me suffira, pour la démonstration, d'indiquer les points suivants : 
» 1° La fonction Pa (2) a une limite finie pour n infini. En consé- 
quence, une série de la forme (1), à coefficients donnés, exige, pour sa con- 
vergence, une condition nécessaire et suffisante: la convergence de la série 
A, + As+ A,+.... Cette condition satisfaite, la série (1) converge, quel 
que soit x, et représente une fonction entière f(x). 
» 2° En même temps que la série (1), converge cette autre 
(3) p(æ)= A, + Aa(1— Z) + À, (=) +. HA1: a Z) He 
et la fonction ọ (æ) peut se représenter ainsi 
plz) = f f(tæje w. 
0 
» La série (3) appartient à une classe dont j'ai déjà fait l'étude ('). Les 
résultats acquis donnent la preuve immédiate de la formule (2) et de la 
proposition énoncée. 
» Voici maintenant la circonstance singulière qu'offre la série (1). Pre- 
nons une fonction f(x) qui ne puisse pas être représentée par cette série, 
et calculons les coefficients A par la formule (2). Le plus souvent, la série 
converge; elle représente alors une fonction différente. 
» Je vais citer quatre exemples, où je fais 8 = 1. 
» 1° Prenons la fonction discontinue f(x) — 1 pour æ compris entre 
zéro et le nombre positif a, et f(x)— 0 pour x supérieur à a. De là ré- 
sultent, pour le éoeffiétene: l'expression exacte 
met 
Ra 1.2...2 da"? a”e 
et l'expression agape =. Donc la série (1) converge, sans repré- 
senter f(x). 
(*) Sur une série d’Abel (Comptes rendus, t. XCHI, p: 1003, et Bulletin de la Société 
math., t X, p.67). 
RUE. 
