( 666 ) 
la fonction ĝ(r) prenant successivement ces formes : 
TER Ter, 
(1) r*+ a+ 3ar (a quelconque), 
r+ ar +r?+3ar (a non résidu quadratique de 7); 
» 2° Que les produits et les puissances des substitutions 
S=ar, T=aS(r) + ß (mod. 7), 
dans lesquelles a, résidu quadratique, æ, non résidu quadratiq ue de 7 et 
S(r)=r#+ 2r?, 
sont des substitutions de la même forme, et que, par conséquent, on a un 
système de 168 substitutions conjuguées, ou des fonctions de sept lettres, 
qui, étant invariables par ce système de substitutions, ne peuvent avoir que 
trente valeurs distinctes ('). 
» Ce dernier théorème avait déjà été énoncé, sous une autre forme, par 
M. Kronecker dans une Communication à l’Académie de Berlin (Notiz über 
Gleichungen des siebenten Grades) du 22 avril 1858, et dans cette même 
Communication se trouve le premier exemple d’une fonction de sept 
lettres, huit fois cyclique, ayant seulement trente valeurs. 
» En désignant par (r) une fonction cyclique de sept lettres, et par 
[æÿ(r) + B] les fonctions qu’on obtient en opérant sur la fonction (r) avec 
une des substitutions (1), la forme générale d’une fonction de sept lettres 
à trente valeurs peut s'exprimer de la manière suivante : 
rer NE Gr) 
+ D 6o" + 2r?) + s] + [5(r$+ 2r?) + s] + [3(r5+ 2r°) + sl]. 
En opérant sur cette fonction avec les substitutions 
6(r5— 2r?) +£, (r+3r)+t, (t =0,1,2, caah 
on a avec elle quinze valeurs; et, par les substitutions 
(6r), (r*+ ar) +t, (r'—3r)+E, 
les quinze autres. 
. [i + , n . 1 n 
(+) Pai démontré un théorème analogue pour les fonctions de onze lettres (Nachrichte 
der Kgl. Ges, d, Wiss. zu Gôttingen, 1869). 
