(716 ) 
oùk—p—1,p,p+1,...,2p — 2, en fonction des p — 2 autres points 
(4) (Lis Ti) (lors ... (Zp F as 
qui restent arbitraires. La fonction w ainsi obtenue admet les multiplica- 
teurs inverses des multiplicateurs de d(x, y) et s’annule aux (p — 2) points 
arbitraires (4); elle est complètement déterminée quand on donne ces 
points (4). 
» En attribuant aux points (4) tous les systèmes possibles de valeurs, on 
obtient une infinité de fonctions w; mais toutes ces fonctions peuvent s’ex- 
primer linéairement à l’aide de p — 1 d’entre elles. En effet, soient ©, 
Das cr Gp P —1 des fonctions obtenues en attribuant aux points (4) 
p —1 systèmes de valeurs, et soit 5,(x,7) la fonction œ obtenue en 
donnant aux points (4) les valeurs 
(5) CHREAT (ss 1) e. LE + 
La fonction 
(6) M, T, ( 2,7) + MTC) +. + Mpapa L,Y), 
où les m désignent des constantes, est une fonction 3; si l’on détermine 
les coefficients m,, Ma, ..., m,_, de manière que cette fonction (6) s'an- 
nule aux p — 2 points (5), cette fonction deviendra identique à Sp, à un 
- facteur constant près : ce qui démontre la proposition. 
» Considérons alors le produit ®(x, y) x,(x, y), dans lequel s a l’une des 
valeurs 1,2, ..., (p — 1). Ce produit est une fonction rationnelle de x et y, 
admettant pour pôles, d'une part, les pôles de ®(x, y) avec les résidus 
(7) Artsi Eis a) EVA na); .. Aral En An) 
et, d’autre part, les pôles de w(x, y). Comme l'intégrale de cette fonction 
rationnelle ® (x, y) w(x, y) reste finie aux points à l'infini et aux pôles 
de m(x, y) qui coïncident tous avec des points critiques, on a entre les 
résidus (7) la relation 
(8) A, 5s (či, n) + Asms(ës, 12) +... +A,6,(E,, Nn) = 0; 
En donnant à s les valeurs 1, 2, ..., (p — 1), on obtient ainsi (p — 1) rela- 
tions entre les résidus A}, As, ..., À, de la fonction (x, y) et les pôles cor- 
respondants. 
» Remarque I.— Dans le cas où les multiplicateurs,de la fonction ®(x, 7) 
ont la forme exceptionnelle indiquée dans les équations (3) de la Note 
