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du 18 avril 1881, les raisonnements précédents sont en défaut, car les 
équations (5) de la présente Note ne permettent plus de déterminer p des 
points (Xz, Yz) en fonction des (p — 2) autres. (Voir Briot, Théorie des 
fonctions abéliennes, p. 96.) Dans ce cas, 5 (x, y) se réduit à 
Pope. 
E QLer) 
1%, 7] 
et il y a, entre les résidus et les pôles de ®{(x, y), p relations, que l'on 
déduit immédiatement de celles qui ont lieu entre les résidus et les pôles 
d’une fonction rationnelle de x et y. 
» Remarque I1.— Les relations (8) s’étendent au cas où la fonction D{x, y) 
a des points singuliers essentiels, de la même façon que les relations ana- 
logues relatives à une fonction rationnelle s'étendent aux fonctions uni- 
formes du point (x, y) possédant des points singuliers essentiels (voir 
Comptes rendus, séance du 13 mars 1882). » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions hypergéométriques de deux 
variables. Note de M. E. Goursar, présentée par M. Hermite. 
« On sait comment MM. Appell et Picard ont envisagé des fonctions de 
deux variables indépendantes, analogues à la série hypergéométrique de 
Gauss. Je considère la fonction appelée par M. Appell F, («, 5, 5, y, x, T) 
(Comptes rendus, 16 février 1880), 
_ ç (<.m + n)(8.m)(p'.n) 
Fola BA ger) n mn 70 
la sommation s'étendant aux valeurs entières de m et de n, depuis zéro 
jusqu’à linfini, et (X.4) désignant le produit X(à + 1)...(à +4 — 1), 
avec la condition (à.o)= 1. Cette fonction satisfait à des équations aux 
dérivées partielles qui rappellent léquation de la série hypergéométrique 
m {fers — Ep +g =o, 
æ(ı—x)r+y(1— æ)s + [y— («+p + 1)x]p + Byg — epz = o. 
L’analogie se poursuit plus loin; de même que l'équation de la série hy- 
pergéométrique admet en général vingt-quatre intégrales de la formo 
x'(1 — x)"F(}, u, », z), de même les équations (1) admettent en général 
soixante intégrales communes qui s'expriment par des produits tels que 
æ(1—æ)"y" (1 =y wry T (pu Ws Y, bsi h 
