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Chacune des neuf autres intégrales définies pourra être ramenée à la même 
forme que la première par l’une des substitutions 
I U— I p- } I— 
u=, Us U=L——s U=Ÿ—3U= TX + —, 
[4 [4 ru 
à 
U=Y Hs UP UE=YV, U= 
» Si à chacune de ces nouvelles intégrales on applique les mêmes trans- 
formations qu’à la première, on en déduira six expressions différentes au 
moyen de séries hypergéométriques; ce qui fait bien en tout les soixante 
solutions énoncées. Ne pouvant donner ici le tableau de ces soixante inté- 
grales, je me contenterai de reproduire la formule suivante : 
‘pr Lyon 
f V du = E aen 1 Fifa, B,B',a+6+f+1i—7y1—x,1- 7). 
» Les résultats qui précèdent ne sont établis qu’en supposant que les 
éléments x, B, P’, y satisfont à certaines relations d’inégalité, mais il est 
clair qu’ils subsistent tant qu'aucune des quantités qui jouent le rôle de y 
dans ces séries n’est égale à un nombre entier négatif. 
» La représentation des solutions des équations (I) par des intégrales 
définies permet d’étudier sans peine la manière dont se comportent ces 
solutions quand on fait varier x et y d’une façon arbitraire entre certaines 
limites; on en déduirait aussi, par l’application du théorème de Cauchy, 
les relations linéaires entre quatre de ces intégrales, de la même manière 
que pour la série hypergéométrique ordinaire. » 
ARITHMÉTIQUE. — Décomposition d’un nombre entier N en ses puissances n°" 
maxima. Note de M. È. Lemoine, présentée par M. L. Lalanne. 
« Si l'ona N = a? + a} +...+ Ab, je dirai que N est décomposé en ses puis- 
sances n°" maxima brague la racine n°”"° a; d'un terme quelconque a; du se- 
Cond membre est la racine n\?"*, à une unité près par défaut, du nbre formé 
par l’addition de a“ et de tous les nombres qui sont à sa droite dans le second 
membre, 
» Si le second membre contient p termes, je dirai que N est d'indice p 
par rapport à la puissance z. 
