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» Il est évident que tout nombre n’est décomposable que d’une seule 
manière en ses puissances 77% maxima. 
~» Dans le cas de n = 2, on a facilement les théorèmes suivants : 
» Jia, > 2, 4, ai 43, ..…., a, sont tous différents. 
» Sa, = 2, 4, , peut étre égal à 2, mais tous les autres sont différents. 
» Si Ap = 1,4, , et a,_, peuvent aussi étre égaux à 2, mais tous les autres sont 
différents. 
» Proposons-nous de former le plus petit nombre qui, décomposé en 
carrés maxima, ait l'indice p. Les premiers nombres entiers décomposés en 
leurs carrés maxima sont 
il. PH 1. + 1°+ 1°, 
2 
2?, P, PAP, +++, 24 2°, 3°, ..., 
et l’on voit que les plus petits nombres d'indice 1, 2, 3, 4, ... sont respec- 
üvementr,.2,9,7..1 
» Cela posé, soit y, le plus petit nombre d’indice p et supposons yp im- 
pair et plus grand que 1; Yp, est évidemment de la forme K? + Yp, et 
il faut que yp < 2K +1; sans cela K ne serait pas le plus grand carré 
entier contenu dans y,.,, c'est-à-dire que l’on a 
— 1 
K>, 
et, comme y, est supposé impair et plus grand que 1, le plus petit nombre 
entier K satisfaisant à cette inégalité est Ž = T; on aura donc 
PEL 
(A) Tams (2 ) +9 
» Si y, est impair et de la forme 4m — 1, cette formule donnera 
— TI 
Je [e HE] + 4m—1=4M — 1. 
» Or y, = 3 plus grand que 1 est impair et de la forme 4m — 1; donc 
Yı, Js» --. seront de la même forme, et la formule (A) est la formule de 
récurrence qui, à partir de y,, permet de calculer les plus petits nombres 
d'indice donné par rapport aux carrés maxima, 
