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Supposons que, n croissant indéfiniment, ® (x) ait pour limite une série F (x) 
convergente pour toutes les valeurs de la variable; supposons en outre’ 
que D(x) =o ait, pour toute valeur de n, ses racines réelles et de même 
signe (il suffit même que l’on puisse assigner un nombre p, tel que cette 
propriété ait lieu pour toute valeur de z supérieure à p), je dis que F(x) 
est égale au produit d'une fonction entière du genre zéro par une expo- 
nentielle de la forme e“**?, où a et b désignent des quantités constantes. 
» Soient, en effet, «,, &, …, «, les racines de l'équation ®{(x) =o que 
jesupposerai, par exemple, toutes positives et rangées s ordre de grandeur, 
en sorte que l’on ait &, <a <u,,...; on a X = — ai, quantité qui tend 
vers une limite finie p, et l’on conclut que, B,, Ba, … butée racines de 
Pie) = 0, D > a une limite finie au plus égale à p ('). 
p(x 
» Posons — l Ip 
bàs) «4 
termes qui correspondent aux valeurs de «; inférieures à un nombre fixe 
arbitraire 4; en désignant par M, l’ensemble de ces termes et par R, les 
autres termes, on peut écrire 
"et, dans le développement, considérons les 
Œe— ri 
(1) per Ee) = M; aps Rz. 
On a 
is» i=n 
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R= = Dars He pr > a 
jim £ 4 a 
ESR {= 
égalité où le dernier membre est une série convergente pour toute valeur 
de x comprise entre zéro et ars En désignant par cą le nombre 5: — ona 
d’ailleurs 
i=n 
I I y I I 
=< GE) — 5x) ... 
er Gi a; xj 
t sak t 
» Pour tonte valeur de x positive et plus petite que &;, on en conclut 
x n 
(+) Elle peut étre moindre; en posant en effet ¢ (x) = (1 — x) (1-2) >0nap—2et, 
I 
relativement aux racines de F(x) = e~ (1 — x), B; a à 
t 
