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trouvé ainsi la fonction F, (%, 8, B’, y, £, y) de M. Appell ( Annales de l'École 
Normale, 1881). Je me propose de montrer comment les fonctions F, et F,, 
étudiées aussi par M. Appell, sont susceptibles d’une définition analogue. 
Voici comment on doit modifier l’énoncé du problème traité par M. Picard. 
Soit z = F(x, y ) une fonction multiforme des deux variables indépendantes 
x et y jouissant des propriétés suivantes, Entre cinq déterminations de la 
fonction il existe une relation linéaire et homogène à coefficients constants. 
Dans le voisinage de toute valeur a de x et b de y, ne coïncidant avec 
aucun des points o, 1, © , et telles que l’on n'ait pas ab — a + b, chaque 
branche de la fonction est holomorphe par rapport à æ et par rapport à y. 
Dans le voisinage de æ = o, y = b, b étant différent de o, 1, æ, on a les 
quatre déterminations linéairement indépendantes 
P (m he Pepe Par) ca TP (a, 7 
P,, Pa, Ps, P, étant holomorphes par rapport à x et à y pour x =0, 
y = b. Dans le voisinage de x =0, y= b, b étant toujours différent de 
0, 1, , on a les quatre déterminations 
Q; (x, Y) Q(x, y), Q; (z, Th (1 — xQ, (x, J) 
Qis Qz, Qs; Q; étant holomorphes pour x =1ı1, y =b. Enfin, pour 
I | À . L2 
= 2 =% et y= b, on a quatre déterminations 
CARAT Y) x"R,(zx", y), LÊR, (2,7), LÊR (+, Y) 
R,, Ra, R, R, étant holomorphes pour z’ = o, y = b. 
» Tout pareiliement, si l’on fait varier x dans le voisinage d’une valeur 4 
différente de o, 1, ©, et y dans le voisinage de ces trois points, On a; dans 
le voisinage de chacun de ces points, quatre déterminations analogues 
aux précédentes, les divers exposants se déduisant des précédents en permu- 
tant & et a’, B et ff. Enfin, dans le voisinage de valeurs x = 4, Y = b, Lee 
que ab — a + b, on a les quatre déterminations linéairement indépen- 
dantes 
Sita y) Six, rh Sx,r) (ay —x— y} ts, (x, Th 
Si, S2, S3, S, étant holomorphes pour x = 0, y = b. | Me 
dd : a . . ‘eA e- 
» Admettons qu’il existe une fonction z jouissant des propriétés préc 
. ` # . La oO 
dentes, et attribuons à y une valeur constante ——) c étant différent de 0, 
‘ : à oute 
1, © ; z devient une fonction de la seule variable x, bolomorphe pour t 
