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arbitrairement pour x = a, pourvu que l'équation 
(r— p)... (r—m+1)—(r— p)... (r —m + 2)Q, (a)— ...— Qnpla)=0 
n’admette pour racine aucun nombre entier positif supérieur à p— 1. La 
démonstration est tout à fait semblable à celle de la proposition analogue 
dans le cas particulier où p= 1 (TannerRrY, Annales de l'Ecole Normale, 
t. IV, 2° série, p. 158 et suiv.) 
» Si, de même, on attribue à æ une valeur constante, différente de o, 
1, © ,r devient une fonction de y, vérifiant une équation (2) analogue 
à l'équation (1). Je remarque maintenant que, si dans cette équation (1) 
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on remplace c par =» on retrouve une équation déjà formée par 
M. Appell (Journal de Mathématiques, 1882, p. 124), et qui est satisfaite 
par toute intégrale commune aux deux équations linéaires simultanées 
yo [æsar ys +y (2+ B+ ie] az =o, 
Oh (ritesi (e+ pte] apso, 
lorsqu'on y regarde y comme constant. Si, dans ces mêmes équations, on 
attribue à æ une valeur constante, toute intégrale commune vérifiera 
l'équation (2), analogue en y. Les intégrales communes aux deux équa- 
tions (3) satisfont, par conséquent, aux conditions du problème. On sait 
qu'une de ces intégrales est holomorphe pour x = o, y = 0; c’est la série 
hypergéométrique F, (æ, a’, B, B’, y, x,y). Dans le domaine des points 
T=A®, y=% , on sait aussi que certaines intégrales s'expriment au 
moyen de la série F,. 
» Il reste encore à démontrer que l'on a ainsi la solution du problème 
la plus générale, c’est-à-dire que, si f,, Jz, fs, Ja désignent quatre inté- 
grales linéairement indépendantes des équations (3), toute autre fonction 
jouissant des mêmes propriétés s'exprime par des formules linéaires et à 
coefficients constants au moyen de ces quatre déterminations. On pourrait 
sans doute le démontrer par la méthode employée par M. Picard dans le 
travail cité plus haut; mais on peut aussi étudier la question par un autre 
procédé, sur lequel je me propose de revenir, » 
