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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement des fonctions en séries 
d'autres fonctions. Note de M. Hucoxior. 
« I. On sait que toute fonction w(x), dont les valeurs sont données 
entre les limites — 1 et + 1 de la variable, peut être développée en série 
à l’aide des polynômes de Legendre, de sorte que l’on a, entre ces 
limites, 
olx) =A +A XH.. F A,X +... 
» Ces développements jouissent de la propriété suivante, énoncée pour 
la première fois par M. G. Plarr ( Comptes rendus, t. XLIV, séance du 
11 mai 1857): Si on limite la série à ses n premiers termes, on obtient un poly- 
nôme de degré n tel que le carré moyen des différences entre la fonction et le 
polynôme soit, entre les limites — 1 et + 1, moindre que pour tous les autres po- 
lynômes de méme degré. 
» M. Plarr a remarqué qu'il existait un théorème analogue pour les dé- 
veloppements en séries de sinus et de cosinus des multiples de la variable; 
d’ailleurs, d’après les renseignements qu’a bien voulu me communiquer 
M. Bertrand, ce dernier théorème aurait été antérieurement énoncé par 
Bessel, 
» Je vais montrer que ces propriétés s'étendent à une infinité de fonc- 
tions dont les polynômes de Legendre ne sont qu'un cas particulier, et 
que, de plus, on peut calculer par des formules très simples la valeur du 
carré moyen de la différence entre la fonction et la série limitée à un 
nombre quelconque de termes. 
» II. Soit une fonction ọ(x) dont les valeurs sont données entre les 
deux limites æ et B de la variable, et qui ne devient pas infinie entre ces 
limites; on considère n + 1 fonctions de x, Z,, Zi, Zz, ..., Zn finies entre 
«et B, et telles que l’on ait 
(1) F ZR AEI O; 
toutes les fois que & et #’ ont des valeurs différentes, et l'on pose 
(2) : B,= f Zèdr. 
» Considérant alors la différence 
g =0(x)— (AZ +A, Z+... + A2), 
