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pour Z, une combinaison linéaire de n + 1 fonctions données 
Z=ofi(r) + dif () +. + f(x) 
» Les équations (1) permettent alors de déterminer les rapports des 
coefficients 4p, a,, ..., a, à l'un quelconque d’entre eux. 
» II. Je considère en particulier le cas où, toutes les fonctions Z, étant 
de la forme précédente, Z, ne contient que f(x), Z, contient f(x) et 
Jfi(x), et ainsi de suite. 
» Soit alors o(x) une fonction dont les valeurs sont données entre x 
et 8; on pourra former une série 
(2) hihi het. 
en prenant 
, A a 
(3) n= Z,o(x)dx, Bi= | Dda, 
et qui représentera, entre les limites « et f, la fonction ọ (æ), lorsqu'on 
aura 
S Bia; = [ (e(æ)dr. 
p(x) se trouvera ainsi développée en série d’autres fonctions fos fi; =+- arbi- 
trairement choisies. 
» On va faire voir que les n + 1 premiers termes de la série (2) forment 
une combinaison linéaire de f,(x), f(x), ..., Jalæ), telle qu'entre les limites 
a et B, le carré moyen de la différence avec ¢ (æ) soit moindre que pour toutes 
les autres combinaisons linéaires des mémes fonctions. 
» En effet, toute combinaison linéaire de ce genre peut se mettre sous 
la forme A,Z,+ A,2,+...+ A,2,, et, si l’on détermine:Aos Ass sst An 
de manière que le carré moyen de la différence avec (x) soit un maximum, 
on obtient précisément pour ces coefficients les valeurs (3). Ce théorème 
est analogue à celui qu’a établi M. Plarr pour les polynômes de Legendre, 
et il en constitue la généralisation. | 
» Il en résulte que l’on a 
$ H f Da 
toutes les fois que n est inférieur à m; car, si l’on développe la fonction 
fa(æ) par la formule (2), tous les coefficients dont l'indice est supérieur 
