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paramètre arbitraire. En a: l'équation (1) avec une équation obte- 
nue antérieurement par M. Appell, j'en ai conclu que les équations (1) et 
(2) étaient vérifiées par toute intégrale commune aux deux équations si- 
multanées aux dérivées partielles : 
(x =x rers [j= leb 1x]p—aBz = 0; 
3 
(3) l (y —7)t+ xs + [y — («+ 8+i)x]q — x 8'2 = 0, 
P, q,r, $, t désignant, suivant l usage, les dérivées partielles 
ðz 03 d?z d?z d?z 
dx’ dr 02? 0x dy 
Le but de la présente Note est de démontrer en toute rigueur les conclu- 
sions que ma dernière Communication laissait entrevoir, c’est-à-dire que 
les équations (1) et (2) n’admettent pas d’autre intégrale commune que les 
intégrales communes aux équations (3). 
» Désignons toujours par z une fonction des deux variables x et y, 
jouissant des propriétés énoncées; une telle fonction devra vérifier un 
système d'équations linéaires aux dérivées partielles de la forme suivante : 
(4) (r—=as+ap+a;q+a,z, 
| t= bs + bip- bi] + bz, 
les a et les b étant des fonctions rationnelles de x et y, dont il serait aisé 
de trouver la forme, On pourrait alors, partant des équations (4), former 
deux équations du quatrième ordre, ne contenant l'une que les dérivées 
par rapport à x, l’autre que les dérivées par rapport à y, et, en écrivant 
qu'elles sont mikine aux équations (1) et (2), on déterminerait ainsi les 
coefficients inconnus qui entrent dans les a et les b. Mais il nous suffira de 
démontrer que ces fonctions a et b sont entièrement déterminées, sans que 
‘Nous ayons besoin de les calculer. Je remarque pour cela que, si 3 est une 
f, : iR { : OS SE ; f a 
onction répondant à la question, Jz Jouit, relativement aux points criti- 
er à i he ; i dz ; ns 
ques, des mêmes propriétés que la fonction z elle-même ; “= doit donc véri- 
fier un système d'équations (1’) et (2°), analogues aux équations (1) et (2), 
et que l’on déduirait de ces dernières par le changement de x, B, y en 
ET, Br, 4 + g vérifierait également un systéme d'équations (1) 
„9z 
