(1) (u,v, w) = — 
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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Equilibre d’élasticité d’un solide limité par un 
plan. Note de M. J. Boussinese, présentée par M. de Saint-Venant. 
« Dans un article du 20 mai 1878 ( Comptes rendus, t. LXXXVI, p. 1260), 
j'ai étudié l'équilibre d’un solide homogène et isotrope, limité d’un côté 
par le plan des xy, s'étendant indéfiniment dans tous les autres sens, de 
z= 0 à Z= 2 , et soumis, sur sa surface z = o, à des pressions extérieures 
dont les composantes par unité d’aire, Pz, Py, Pz, sont données en chaque 
point (x,, Yı); mais je ne m’y suis attaché qu’au cas, particulièrement inté- 
ressant, où les pressions extérieures se réduisent à leur composante nor- 
male p,, el j y ai exprimé, pour ce cas, les déplacements u, ¢, w produits 
en un point quelconque (x, y, z) du corps au moyen des dérivées d’un 
certain potentiel 4 = f log(z + r)dm, que j'ai appelé logarithmique à trois 
variables, où parait la distance r du point (x, y, z) à chaque élément dm 
d’une matière fictive qui, étalée sur la surface, aurait sa densité p(x,, 71) 
(par unité d’aire) proportionnelle .à p,. Depuis, M. Valentino Cerruti a 
abordé autrement la même question [Ricerche intorno all'equilibrio de’corpt 
elastici isotropi ( Accad. dei Lincei, 1882)], et il a non seulement retrouvé ma 
solution de 1878, mais traité aussi le cas d'actions tangentielles pz, py €t 
celui où l’on se donnerait, à la surface, les déplacements u, ¢, w au lieu 
des pressions p,, Py, pz: Je me propose de montrer, si l'Académie le veut 
bien, que les principes posés dans mon article de mai 1878 conduisent, 
avec une extrême simplicité, aux nouveaux résultats de M. Cerruti: 
» L'idée mère de cet article était dans la remarque suivaute : ® dési- 
gnant une fonction quelconque dont le paramètre A, soit nul, et en notant 
d’ailleurs, pour abréger, les dérivées prises par rapport à z au moyen d'ac- 
cents (par exemple, ®’, ®” pour celles de ®), on a 2®’+ A,(— z0) = 9, 
relation qui, différentiée en x, y, 3, en donne trois autres immédiatement 
identifiables aux trois équations indéfinies de l'équilibre d’élasticité, quisont 
À d9 À 
Pan = + Au, v, w) = 0, pourvu qu’on prenne TÉg=20"et u, 
p  d(z, 7,2) 
v, w égaux aux trois dérivées en x, y, zde — z®, augmentées de fonc- 
tions, æ, B, y, dont le A, soit nul. Et comme, en outre, 0 doit égaler la 
somme des trois dérivées respectives de 4, v, w en æ, y, Z, on se trouve 
satisfaire aux équations indéfinies de l'équilibre en es 
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