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» Telle est la mod este Notice que je puis vous donner sur le plus gran- 
diose des phénomènes célestes qu’il mait été donné d'admirer durant ma 
longue carrière de marin; puisse-t-elle avoir son utilité! » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Fourier. Note de M. HALPHEN. 
« Soit une fonction f(x), susceptible d'intégration, dont on veuille étudier 
le développement en série trigonométrique dans un intervalle donné. Les 
termes de la série se calculent suivant la formule de Fourier; mais le déve- 
loppement n’est pas toujours possible. Comme première condition néces- 
saire, il faut que les termes calculés tendent vers zéro. Si cette condition se 
trouve satisfaite, on sait, d’après Riemann, que la légitimité du développe- 
ment pour chaque valeur de x dépend uniquement de l'allure de la fonc- 
tion dans le voisinage immédiat de cette valeur. 
» D'après l'hypothèse unique faite sur f(x), les termes tendent vers zéro 
si f(x) demeure finie dans l'intervalle envisagé. Au cas où f(x) devient 
infiuic, Riemann a donné les conditions nécessaires et suffisantes pour que 
les termes tendent vers zéro, si toutefois la valeur de æ, rendant infinie f(x), 
n'est pas dans un intervalle où f(x) ait une infinité d’oscillations; mais, 
pour le cas où f(x) a uue infinité d'oscillations en devenant infinie, on ne 
possède aucune règle générale. A ce sujet, Riemann fait observer (*) que 
chaque application exigera l'emploi de méthodes particulières. Il en 
donne, au dernier paragraphe de son Mémoire, un exemple remarquable, 
ne laissant aucun doute sur la difficulté d’une telle recherche. A cause de 
cette difficulté même, on trouvera, je pense, quelque intérêt à posséder 
une règle tout à fait générale et d'une application très simple, qui donne 
une condition, non pas nécessaire, mais toujours suffisante pour que les 
termes de la série tendent effectivement vers zéro. La voici : 
» Les termes de la série trigonométrique calculés au moyen de la fonction f (æ) 
tendent vers zéro si l'intégrale de f(x )* est finie dans l'intervalle considéré. 
» La démonstration résulte immédiatement d’une remarque ingénieuse 
faite par M. Hugoniot (°), et que je rappelle. 
» Soient Ap, À,,..., An- les n premiers coefficients, A, étant celui du 
terme indépendant dew. Désignant par € la différence entre f(x) et la 
(*) Riemann's gesammelte mathematische Werke, p. 240. On peut aussi consulter la 
traduction dans le Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. V, p, 82. 
(*) Ce Volume, p. 909. 
