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somme des z premiers termes, par 2/ la grandeur de l'intervalle, et pre- 
nant les intégrales dans cet intervalle, on obtient 
(1) Jedx = [f(x} dax — l(2AŸ + A+... + A) f 
Ce résultat n’entraine d’ailleurs aucune autre hypothèse nouvelle que 
celle-ci : ff (x)? dæ a une valeur finie. Quand il en est ainsi, on peut con- 
clure à la convergence de la série dont le terme général est A?, puisque 
cette série, à termes positifs, a une somme limitée. Donc A, tend vers zéro; 
c’est ce qu'il fallait prouver. 
» Si l'on se borne à envisager pour f(x) une fonction satisfaisant aux 
conditions de Dirichlet, sauf en des points singuliers dont le nombre soit 
limité, on voit qu’une telle fonction est développable en série de Fourier 
si l'intégrale de f(x}? est finie. 
» Soit, par exemple, a et b étant des nombres positifs, à développer, dans 
un intervalle contenant fa valeur x = o, cette fonction 
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et il est manifeste que cette intégrale converge si l’on à b <1, a 3: Quand 
ces conditions sont remplies, f (æ) est effectivement développable. 
» La considération de l'intégrale fe?dx est ainsi d’une véritable utilité 
pour la série de Fourier. Mais, si l’on en peut tirer des conséquences pour 
l'existence du développement, c’est grâce aux propriétés spéciales de cette 
série particulière. Quant aux diverses séries auxquelles s'applique une rela- 
tion analogue à (1), une étude plus approfondie pourrait seule apprendre, 
pour chacune d’elles, quelles conséquences entraine cette relation. En tous 
cas et contrairement à l'opinion émise par M. Hugoniot, on peut affirmer 
que la convergence de fe? dx vers zéro ne suffit pas généralement à assurer 
la convergence de la série. J'ai obtenu des exemples, même avec des pope 
tions analytiques, en employant une série de M. Tchebycheff. Cette seri? 
procède suivant les polynômes successifs p, (x) : 
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