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étant e = gh + hf + fg, e= gshs+ ħsfs+f:gs Or, pour la fonction 
[L(r)], les quantités L, M, N; P, Q, R qui correspondent aux /,m, n; p,q, 
r de la fonction (r), sont liées à ces dernières par les relations 
L=- [e(m +n) +l+r—q], 
Var 
P= hot 1i)(r+qg)—p+n— m], 
yey 
et les analogues; en conséquence, les mêmes quantités relatives à la fonc- 
tion [L(r) + £] s’obtiendront en posant p‘1, p“tm, p*°n; pp, p°*q, p*r au 
lieu de }, m, n; p, q, r. De ces relations on déduit, pour les valeurs de +. 
p—=7"(7e—P), p—7(7e—P,), 
P = va — (w+ 1)b — 2{(0 + 3)c+2(0 — 2)d + 2e 
a=mn+nl+ m, c= pmr? + qni? + rlm?, 
b=q¢°r +r°'p+ pq, d=lqr + mrp + npg’, 
et ds, bs, Cs, d,, P, les mêmes expressions pour Ls, Ms, 153 Pss Qss Ts 
» Or les fonctions P, P, s’annulent si l’on adopte, pour l, m, .. .; ls, 
Ms; ..., les valeurs (4), (5) du n°2 en supposant u = y = w = 0, et, dans 
ce cas, les valeurs des huit fonctions Pas Pos -Pe Viennent à coïincider 
avec celles de ».,n0,..., Nes 
» La même propriété a lieu pour y.,"/,,...,%3 en effet, leurs expres- 
sions s'obtiennent en permutant les L, M, N avec P, Q, R, et réciproque- 
ment; en conséquence, dans le cas considéré, les trois premières séries de 
huit fonctions se réduisent à la première. 
» De même pour les autres, dont les valeurs s’obtiennent en changeant 
o en — (w + 1) dans les valeurs (8) du n° 3 de n450; +- 06. On a ainsi le 
second théorème : 
» Si les sept lettres xy, x,, ..., x, sont les racines de la réduite de l'équation 
modulaire du huitième degré, les trois séries de huit fonctions n, 9,7 n'en for- 
ment qu’une seule, et les huit fonctions de celles-ci sont racines d'une équation 
du huitième degré qui n'est qu'une transformée de l'équation modulaire. De 
méme pour les trois autres séries en changeant w en — (ù + 1) dans la réduile 
et dans les valeurs des fonctions n. » 
