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expressions de l’auteur pourraient être interprètées de deux manières; 
mais bien sur le n° 35 du chapitre VII, où il ne s’agit point de sphères os- 
culatrices, mais uniquement de cercles osculateurs, et où il ne peut y 
avoir aucune espèce d’équivoque. 
» Or, il est certain que, dans cet endroit de l'ouvrage (page 229, n° 35), 
M. de Lagrange cherche la condition analytique nécessaire pour qu’une 
courbe à double courbure puisse avoir une véritable développée, c’est-à-dire 
pour que les rayons osculateurs de la courbe proposée soient tous tan- 
gents à la courbe des centres. Il est encore certain que M. de Lagrange 
trouve cette condition , et la donne exprimée par l'équation suivante : 
m'(y—b)+n'(2—c)= 0. 
»Actuellement l’auteur dit très bien (art. 36): 
« La condition que nous venons de trouver, pour que la courbe ait une 
» développée’, a évidemment lieu lors ue met n sont constantes; et dans ce 
s un plan déte par ces constantes.» Mais 
il est clair que l’auteur, n’allant pas ans loin dans l'examen de cette condi- 
tion analytique, paraît supposer qu’elle pourrait être remplie sans que m 
et n fussent constantes, et par conséquent, dans d’autres cas que celui 
d'une courbe plane, car immédiatement après cette phrase que je viens de 
rapporter, l’auteur ajoute : | 
» Si ces quantités ( m et n) ne sont pas constantes , elles détermineront le 
plan tangent de la courbe; et lorsque l'équation précédente aura lieu. les 
rayons osculateurs Forner une courbe déyeloppable.» Ce qui ne serait pas 
für, , S'il était possible que l'équation eût lieu dans le cas de m et n va- 
bles; mais ce qui ne peut jamais avoir lieu dans ce cas, parce que la 
courbe serait alors à double courbure , et qu'il est évident, par la seule 
géométrie, qu’une courbe à double courbure ne peut jamais avoir de véri-, 
table développée formée par. ses rayons osculateurs. : 
» L'erreur, ou plutôt le défaut de l'analyse de M. de Lagrange, vient 
donc de ce que l’auteur n’examine pas le sens complet de la condition 
analytique qu il donne, et ne voit pas que cette condition ne peut. ètre 
remplie que dans le seul cas de m et n constantes, et par Fr 
_dans le seul cas où la courbe est plane. 
`» C’est ce qu'il aurait trouvé d’ailleurs par un calcul assez z simple, e! 
| est st peut-être pas. inutile d'indiquer i ici. 
ndition donnée par | 
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- D m(y bjn Ge) = 0, RE ag Si 
