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bles à la pratique, nous n'avons pas cru devoir les publier. Toutefois l'é- 
tude que nous en avons faite n’a pas été entièrement perdue, puisqu'elle 
nous a mis à même de reconnaître immédiatement l’inexactitude de la pro- 
position générale contenue dans la lettre de M. Cauchy. 
» Désignons par P et Q deux fonctions entières de x et y, et par R la 
quantité = -F z. On peut regarder x et y comme représentant 
les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque pris dans le plan 
des xy; à chaque couple (x, y) répondra un point M du plan, et, réciproque- 
ment, à chaque point M répondra un couple de valeurs des deux variables 
x et y. On distinguera surtout les points du plan pour lesquels on a à la 
fois P—0, Q—o : ces points représentent en quelque sorte géométri- 
quement les solutions réelles des équations simultanées P= o0, Q= 0. 
Maintenant traçons sur le plan des xy un ro fermé quelconque ABC; 
pour chaque point de ce contour la fraction À Fo Aura en général un signe 
Q 
déterminé, qui pourra varier d’un point 4 autre si, dans un intervalle com- 
pris entre ces deux pete la fraction iig m est devenue nulle ou infinie. 
>» iiite pr À l'as A nombre de fois où la fiction Fi en s'é- 
vanouissant, passe du positif : au négatif, sur le nombre de fois où elle 
passe, en s’'évanouissant, du négatif au positif, lorsqu'on parcourt le con- 
tour ABC, d’un mouvement continu, en allant des æ positives aux y 
positives. 
» Désignons en même temps par œ le nombre des solutions réelles des 
équations P=0, Q =o qui sont contenues dans l’intérieur du contour ABC. 
» Cela posé, le théorème annoncé par M. Cauchy revient à dire pet lon 
# 
a toujours 4 = A. 
- » Pour le cas particulier où P et Qı représentent la rie réelle et le E 
ficient de V — 1 dans le développement d’une fonction de x EF. V—=i, 
M. Canehy observe, en ae sa lettre, que l’on peut remplacer Ta 
fraction Kò par la fraction = Q : : cette simplification sants aje son <S 
théorème coincide avec celui qu'il a donné en Es a 
| » Quand on a an a 4 > ! 
# 
TE aei a 
