on a aussi 
d’où 
dP\*:../dP\: 
R= (2) t): 
la quantité R ne devient donc jamais négative : c’est à celte circonstance 
que tient la possibilité d'employer indifféremment, pour le calcul de 
RE + EE 
l'excès À , la fraction 6 °u la fraction gg 
» Passons à l'examen du cas général où P et Q sont des polynomes 
quelconques. La démonstration que M. Cauchy indique dans sa lettre 
. consiste à remplacer (dans un intervalle très petit) par leurs tangentes, 
les deux courbes ayant pour équations respectives P. = 0, Q = 0: 
Cette substitution n’est pas toujours permise ; elle est, par exemple, 
inadmissible dans les environs d’un point isolé, appartenant à l’une 
ou à lautre de ces deux courbes. Mais en supposant même que Pil- 
lustre auteur exclue implicitement les cas où les deux courbes pos- 
séderaient des points singuliers, son théorème général sera encore sou- 
vent en défaut, comme on peut le voir, soit en examinant de près sa 
démonstration, soit en traitant les exemples suivants, dans lesquels 
les courbes représentées par les équations P =o, Q = o sont des 
cercles ou des lignes droites. } 
» 1° Exemple. Soit P = x* + 7° — 1, Q=; d'où R—2x, et par 
Dee F A 
O o Ww 
Traçons autour de l’origine des coordonnées un rectangle tel que la frac- 
suite 
“ P 9r s à À . . ` x n 
tion KO ne s’évanouisse pour aucun des points de son périmètre, ce qui 
arrivera si les coordonnées de chacun de ces points vérifient toujours liné- 
galité x° + 7° 1. Pour un tel contour, l'excès A sera nul. D'un autre 
côté les équations i A 
o Pap Ermo Syo 
sont satisfaites quand on pose y =0, £ = 1, ðU y=0, X = h 
ne SE . I r . e 
en sorte que l'on a p = 2. L'équation u = > A n’a donc pas lieu dans ce 
e 
apoi; 
premier exemple. 
