( 776 ) 
de l'équation (1), de teile sorte que, dans l'origine, le nombre des groupes 
soit égal au nombre des racines distinctes, et que plus tard deux groupes 
se réunissent en un seul au moment où deux racines qui appartiennent 
respectivement à ces deux groupes deviennent égales entre elles pour un 
module donné de £ correspondant à une certaine valeur principale de ce 
paramètre. Le nombre des groupes de racines se trouvera complétement 
déterminé pour chaque valeur particulière attribuée au module de £, et l'é- 
quation (1) pourra être décomposée en plusieurs autres dont dhaani four- 
nisse séparément les diverses racines comprises dans un seul groupe. 
» Corollaire 1°*. Dans les démonstrations des théorèmes 2 et 3, nous 
avons implicitement supposé que les racines, et les sommes de diverses ra- 
cines de l’équation (1), ne cessaient d’être fonctions continues de £ qu’au * 
moment où deux ou plusieurs de ces racines devenaient égales entre elles. - 
C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque l'équation (1) est de la forme 
(5) - N(x) + ta (x) = 0, : 
w(x) et n(x) désignant deux fonctions entières de x, et le degré de 
la fonction I (æ) étant supérieur à celui de la fonction æ (x). Si le degré 
de II (x) devenait inférieur à celui de æ(x), une ou plusieurs racines de 
l'équation (5) deviendraient infinies, par conséquent discontinues pour 
t= 0; et, si l'équation (1) n’était pas de la forme (5), ou si elle de- 
venait transcendante, on conçoit que des valeurs particulières de £ 
pourraient encore rendre une racine infinie ou discontinue , sans donner 
des racines communes à l’équation (5) et à sa dérivée. IL sera générale- 
ment facile de voir quelles ‘sont les restrictions ou modifications qui doi- 
vent être apportées aux théorèmes 2 et ‘3 dans des cas semblables. Ainsi, 
par exemple, dans le cas où la fonction IH (x) que renferme l'équation (5), 
offrira un degré inférieur à celui de æ(x), on pourra encore développer ` 
~les racines qui deviendront infinies pour ¿= o, en séries ordonnées 
suivant les puissances ascendantes de ż; seulement, les premiers termes 
de ces séries renfermeront des puissances négatives de £, comme on peut 
s’en assurer en développant suivant les puissances ascendantes entières 
ou fractionvaires du paramètre t, les racines des équations 
TIR —=0, x—1+2x—0. 
» Corollaire 2°. Il est important d'observer que le 3° théorème appliqué 
à l'équation (5), peut aisément se déduire de la formule (29) (page 13) 
du Mémoire de 14 pages, lithographié à Turin, sous la date du 17 dé- 
re-183r. Pour y parvenir, il suffit de remplacer, dans cette for- 
mule, E par une puissance entière de 3, et æ(z) par ows) , d'écrire 
