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offrira, pour éhaque valeur principale de x, un module 
(23) LP + Cf} > 
supérieur à Æ; et par suite toutes les racines de l'équation (19) seront 
développables, même pour i= k, en séries convergentes ordonnées 
suivant les puissances ascendantes de ¿, ces séries ayant pour premiers . 
termes les racines déjà calculées de l'équation (17). Mais, quand on 
pose ik, l'équation (19) se réduit à l'équation (1). Donc, si l’équa- 
tion (r)a toutes ses racines réelles et inégales, la résolution de cette 
équation pourra être réduite à celle de l'équation (17), par conséquent 
à celle de loue binome (18). Observons d’ailleurs qu en supposant 
Rp en Va, 
on réduira les équations (17), (18), (19) à 
05 &=f() V=, (26) r= V5, 
(27) k = i + f(x) V—r, ou i =k fla) Vr; 
tandis qu'en supposant r eni : Ta 7 i n 
(28) z——7, Va Fos Pre 
on réduira les équations (17), (18), (19), à 
e9  k=—f{(x) WT, (30) “=; VT, 
(31) k= i—f(x)y/—1, ou i= k + f(x) V >g? 
On.peut donc énoncer la proposition suivante. 
» 1“ Théorème. Lorsque l'équation (r)a toutes ses racines réelles et iné- 
gales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série 
convergente; et, pour y parvenir, il suffit de poser i= k, dans les 
développements dés racines de l'équation (27) ou (31), en séries con- 
vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de à, 
ces séries ayant pour premiers termes les racines de léquation (25) 
ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fn- 
naires de X, ou, ce qui revient au même, suivant les ances 
dantes et entières tières des valeurs Po vérifier l'équation 
ou (30). PE er Se 
