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» 2° Théorème. La fonction f(x) étant supposée de forme réelle, Te- 
quation 
(1) ~ f(&)=o, 
considérée comme déduite de la formule (27) ou (31) par la supposition 
i= k, offre plus de racines développables en séries convergentes , ordon- 
nées suivant les puissances ascendantes de i, que l'équation dérivée 
(13) f'(à}æ 9 
n'offre de racines réelles. 
» Corollaire. Il en résulte-que, dans tous les cas, une racine au moins de 
l'équation (1), si le degré z est un nombre i impair, deux racines, si le de- 
gré n est an nombre pair, pourront être RS Ta GER en 
séries convergentes. 
» Les théorèmes"r et 2, ainsi que j'en ai fait l'observation dans ma lettre 
du 24 février, sont du nombre de ceux auxquels ; J'étais parvenu à Turin. 
En s'appuyant sur ces théorèmes on pourrait développer successivement 
en séries convergentes toutes les racines d’une équation donnée f(x) = o. 
Car, aprés avoir développé : une première racine Kas ON pat en déve- 
lopper une seconde 2, considérée o cine de lé 
f(x) —f ts 
L = T 
0 “OÙ FA +r Ra, Von enpa zaan) e.. s% Eo 
puis une troisième x, ,... et ainsi de suite, Si ja racine x, leverit, imagi- 
naire où de la forme 4 -+ V— 1, alors f (x) étant de forme réelle, on 
connaîtrait immédiatement la racine imaginaire con j uguée ai. 6 VET, 
- et, en nommant x, cette dernière, on pourrait développer une troisième 
racine x, considérée comme propre à vérifier équation 
I + (To Fir, +a.)2 + ete. = VE de 
etc... On pourra, d’ailleurs, déterminer les Re de l'erreur que l'on 
commettra sur une racine en réduisant son développement à à un nombre 
fini de termes, et réciproquement déterminer une limite du nombre des 
termes qu'il faudra conserver pour obtenir la veg de chaque racine 
avec une certaine approximation , par exemple, à ` près, N étant un nom- 
bre entier quelconque. Les problèmes de ce genre sont précisément À Fob- 
jet du nouveau calcul que j'ai appelé calcul des lets spena 
même aux équations transcendantes. (77 sp le 
à l’Académie de Turin, le 11 octobre 1831.) 
C. R, 1837, 1er Semestre. (T. IV, N° 22.) rI 
