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» Je: passe à la démonstration du 3° théorème énoncé dans ma lettre du 
24 février. 
» Soient æ, 6 deux quantités réelles, f(x) étant toujours une fonction 
entiere de forme réelle, et 
(go) ne Dmae Vs 
une valeur de æ propre à vérifier l'équation (27) ou (31) pour une valeur 
donnée réelle ou imaginaire de č. Si Pon fait varier cette dernière par de- 
grés insensibles, en faisant croître son module, la valeur de x, et par suite 
celles de æ, 6 varieront elles-mêmes par degrés insensibles; mais 6 ne 
pourra changer de signe avant que le module de ¿ devienne supérieur à k. 
En effet, 6 ne pourra changer de signe sans passer par zéro, “c’est-à-dire 
sans que x devienne réel, et pour une valeur réelle de æ l'équation (27) ou 
(31) fournira un module de i équivalent à l'expression (23), par consé- 
quent, égal ou supérieur à k, suivant que æ sera ou ne sera pas racine de 
l'équation (1). Il résulte de cette observation , que le module de ¿ venant à 
croître depuis la limite zéro jusqu’à la limite k, le coefficient € de V1, 
dans une racine imaginaire de l'équation (27) ou (31), ne pourra jamais 
. Changer de signe, mais seulement s'évanouir pour i= #, si l'équation (1) 
a des racines réelles. D'ailleurs, avan de se réunir dans un même 
groupe, deux racines imaginaires de l'équation (1), dans lesquelles-les va- 
leurs. de €. ou les. coefficients de \/— r se trouvent affectés de signes con- 
taires, doivent devenir égales entre elles, ainsi qu'à une valeur princi- 
pale de x, et par suite l’un de ces coefficients doit changer de signe. Donc, 
puisque ce changement ne saurait avoir lieu, avant que Je module de į de- 
e supérieur à k, nous devons conclure que les racines imaginaires de 
l'équation (27) ou (3x), dans lesquelles le.coefficient de V— 1 sera positif, 
resteront séparées des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de 
viénn 
VTT sera négatif, tant que l’on aura 
(41) à S : pog mod. i < k. 
Alors chaque groupe sera exclusivement formé des unes. ou des autres; 
par conséquent la somme des unes, aussi bien que la somme des autres , 
- sera développable, avec la somme de leurs puissances entières de degré 
quelconque, suivant les pii TET id 5 du para iètr à. D'ailleurs, 
-e remplie, il est évident que l'équation (27) 
+ 
tant que la condition (41) sera 
ou (31) n’admettra point de racines réelles. 
