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c’est-à-dire suivant que les valeurs de f'(x) correspondantes à ces racines 
seront Does: ou négatives. On aura donc, pour des valeurs impaires 
. de m, 
(63) s—2$=at—b+c—d'+. n.. — gi 4k, 
et, pour des valeurs paires de m, 
(64) Ne 5 s= 28 = — d 4 b — à 4 dnn Magi hl. 
Si le nombre Z est impair, la formule (63) ou (64), dans laquelle S repré- 
sente la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances 
ascendantes de i= k, fournira, pour une valeur impaire de m, la somme 
des | puissances semblables, et du degré Z, des m racines de l'équation 
(65) (x —a) GEL G—e) (œ ta + (Œ +g) mes 
2 F |s FE St: R 7 et du 
où, pour des valeurs paires de m,las des puiss: ẹ et 
degré L, des m racines de l'équation 
(66) (x + a) (x—0) (x +c) (x — å)... (x+g) (x—h) = 0. 
D'ailleurs étant donnée pour une équation du degré m, la somme des puis- 
sances semblables des racines , des degrés représentés par les nombres 
i 3; à TE CP 
on en tire aisément, à Paide de formules toutes linéaires , les coefficients 
des diverses puissances de m dans le premier membre de cette équation. 
On peut donc énoncer encore la proposition suivante, 
»5° Théorème. La fonction f(x) étant supposée entière ét de ue réelle, 
et lės racines de l'équation (1) inégales entre elles, on pourra déterminer 
immédiatement à laide de séries convergentes 3 les coefficients d’une antre 
équation qui offrirait : seulement pour racines les racines réelles de l’équa- 
tion (1), prises avec le signe -++ ou avec le signe —, suivant qu'elles cor- 
respondent à des valeurs positives ou négatives de {’ (æ). 
» Corollaire. Le théorème 5° joint au 1°, suffit à la détermination ee 
toutes les racines réelles d’une équation de degré. quelconque. Je me pro- 
pose de revenir, dans une note nouvelle, sur cette détermination, d’ éclair- 
cir encore ce qui a été dit ci-dessus, en montrant la méthode appliquée à 
des exemples numériques, et d'établir d’autres théorèmes relatifs à la réso- 
lution des équations. Parmi ces théorèmes, on doit distinguer ceux aux- 
quels on est conduit, lorsque dans les formules (17), (x 8), (19), la valeur de 
