vom 3. Mär- 1879. 213 



e(^,fl,f2,.-.U = 



defiiiirt werden, wenn ?^ , fi , fg , ••• fn durch die Identität 



%{X) = {X-X,) {X-X,) ... {X-X,,) = X^ - ^,X--' + [2^''-'— "' ± \n 



erklärt sind. Für 9^ , 91', 91", ... sind also hierbei die Grössen 

 fi 5 f2 ? ••• fn zu nehmen, welche als die „elementaren" symmetri- 

 schen Functionen von .^i , x-, , ... x,^ bezeichnet werden sollen. Jede 

 einzelne der n Grössen x ist, als algebraische Function von f 1 , f2 , 

 ... f„ betrachtet, von der Ordnung n; eine lineare Function 



ist von der Ordnung nl, wenn die Coefficienten u sämmtlich von 

 einander verschieden sind. Man kann nun jede beliebige rationale 

 Function der n Grössen x als eine bestimmte Gattung algebrai- 

 scher Functionen repräsentirend auffassen und diese einfach als 

 „Gattung von Functionen von ^1 , 0^2 , ... .r„" bezeichnen. Als- 

 dann sind sämmtliche Gattungen unter der durch 



repräsentirten „Galois 'sehen" Gattung enthalten, da jede der n 

 Grössen x als rationale Function von u^X;^ + U2X2 4- ••• H- ^„^„ und 

 f 1 , fo , . . f„ darstellbar ist. Die Ordnungen der einzelnen Gattun- 

 gen sind hiernach Theiler von nl, und wenn eine Gattung mit g, 

 deren Ordnung mit c und der Quotient von n\ dividirt durch 

 mit r bezeichnet wird, so ist r die Anzahl der „Permutationen 

 der Gattung g" d. h. die Anzahl derjenigen Permutationen von 

 Xi , X2 , ... x^, bei denen eine Function der Gattung g ungeändert 

 bleibt. Ist die Gattung g unter der Gattung g' enthalten, so ist 

 ein Theiler von 0' und also r' d. h, die Anzahl der Permutationen 

 von g' ein Theiler der mit r bezeichneten Anzahl der Permutatio- 

 nen von g, und es sind offenbar die ersteren Permutationen selbst 

 unter den letzteren enthalten. 



Die Gattungen scheiden sich in „eigentliche" Gattungen 

 von Functionen von n Grössen und in „uneigentliche", je nach- 

 dem unter deren Adjunction die Gleichung %(x) = irreductibel 

 bleibt oder reductibel wird. Die uneigentlichen Gattungen lassen 

 sich hiernach auf Gattungen von Functionen einer geringeren An- 

 zahl von Grössen zurückführen. Werden die einer eigentlichen Gat- 

 tung g angehörigen Functionen den symmetrischen adjungirt und 



