220 Sitzung der physikaliscli-mathematischen Klasse 



Da nun unter den n Differenzen ^^+l — ^^ für r = , 1 , ... w — 1 

 mindestens zwei modulo n congruente vorkommen müssen, so folgt, 

 dass für solche Werthe von r auch alle andern Differenzen i^.+j. — i^ 

 einander congruent sein müssen, d. h. es müssen zwei Zahlen r,s 

 existiren, wofür 



V+fc — V ^ h+k — h niod. n (k = l,2,...n-l) 



ist. Setzt man hierin k ^ h(r — s), so ergiebt sich leicht, dass 

 2*2 ^ 2 , «3 ^ 3 , ... in-i ^n — 1 sein muss. 



IIL 



Über die Classe der Gleichungen, von denen die Theiliing der elliptischen 

 Functionen abhängt. 



(Vgl. meine Mittheilung im Monatsbericht von 1861 p. 609 sqq.) 



§ 1. Ist n eine ungrade Primzahl, und legt man den Indices 

 von x^,^^ alle 7i Werthe modulo n bei, so ist eine bestimmte eigent- 

 liche Gattung von Functionen der n^ Grössen Xj^^^. dadurch charak- 

 terisirt, dass dieselben bei allen linearen Transformationen der In- 

 dices ungeändert bleiben sollen. Wird diese Gattung mit g be- 

 zeichnet, so sind also deren Permutationen alle diejenigen, wofür 



^h,k ^" ^ah+hk+e,ch+dk+f 



übergeht. Für a, &, c, d, e, / sind irgend welche ganze Zahlen zu 

 nehmen, die der für die Verschiedenheit der transformirten Indices 

 noth wendigen Bedingung genügen, dass ad — hc nicht durch n 

 theilbar sei. Die Anzahl der Werthsysteme von «, ^, c, c?, e, / d. h. 

 also die Anzahl der Permutationen von g ist demgemäss 



n'{n^ — \)(in^-n) , 



und die Zahl, welche die Ordnung von g angiebt, 



1.2.3 (n — 2) (n + 1) (n + 2) (n- — 2) . 



Bedeutet g' die Gattung, deren Permutationen noch an die Bedin- 

 gung 



ad — hc^ \ mod. n 



gebunden sind, so ist die Anzahl der Permutationen von g' der 

 (ji — i)te Theil der Anzahl der Permutationen von g. 



