430 Gesammtsitzung 



29. Mai. Gesammtsitzung der Akademie. 



Hr. Weierstrass las: 



Nachtrag zu der im Monatsbericht v. J. 1858 — S. 207-220 — 



abgedruckten Abhandkmg: „Über ein die homogenen Functionen 



zweiten Grades betreffendes Theorem". 



In der genannten Abhandlung habe ich den folgenden Satz 

 begründet: 



„Sind q) (xi , X2 , ... ^„) , \//(^i , ^2 5 ••• ^n) ganze homogene Functio- 

 nen zweiten Grades der n Veränderlichen Xi , 3^2 , ... -'«^^ mit reel- 

 len Coefficienten, und ist die erstere überdies so beschaffen, dass 

 sie für reelle Werthe von Xi ,X2, ... x^ nur in dem Falle, wo 

 diese sämmtlich gleich Null sind, verschwindet; so lassen sich 

 stets n homogene lineare Functionen u^ ,U2 , ... u^ von o^i , ,^2 , ... x^ 

 mit reellen Coefficienten, und n reelle Constanten 51,53,... s^ so 

 bestimmen, dass 



± cp (x, , X2 , ... xj = ul-\-ul ... -+- ul 



4^ (Xi , X2 , ... ^J = S^ul + 52^1 ... + S^ul 



ist." (In der ersten Gleichung gilt das obere oder das untere 

 Zeichen, jenachdem cp bei reellen Werthen von Xi , X2 , ... x^^, die 

 nicht sämmtlich gleich Null sind, beständig positiv oder bestän- 

 dig negativ ist.) 



Dieser Satz — den ich später (Monatsber. v. J. 1868, S. 310 ff.) 

 als ein einfaches Corrolar der a. a. 0. von mir gegebenen allgemeinen 

 Theorie der simultanen Transformation zweier bilinearen oder qua- 

 dratischen Formen abgeleitet habe — war von Cauchy und Ja- 

 cob! nur für den Fall, dass unter den als Wurzeln einer Gleichung 

 nten Grades sich ergebenden Constanten «1,52, ... s„ keine zwei 

 gleiche sich finden, bewiesen worden. Der Nachweis, dass er auch 

 noch gilt, wenn diese Voraussetzung nicht zutrifft, war um so mehr 

 erforderlich, als ich zeigen konnte, dass im Allgemeinen die in 

 Rede stehende simultane Transformation zweier quadratischer For- 

 men q) , \(/ nur dann möglich ist, wenn die erwähnte Gleichung n 

 von einander verschiedene Wurzeln hat. 



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