о МЕЗОСФВРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 39 



им'Ьютъ одн"! и тЬ же дв-Ь касательный. Изъ первыхъ наименьшимъ кругомъ будетъ тотъ, 

 для котораго дв'Ь постоянныя точки составляютъ концы Д1аметра. Изъ вторыхъ наиболь- 

 шимъ кругомъ будетъ тотъ, который касается въ среднихъ точкахъ двухъ постоянныхъ 

 дугъ большаго круга, полярныхъ по отношен1ю къ первымъ двумъ точкамъ. Если второй 

 кругъ больше перваго, то всегда можно найти такой промежуточный кругъ, который 

 будетъ поляренъ самъ по отношен1Ю къ себ'^. Очевидно, это кругъ съ д1аметромъ рав- 

 нымъ 6^. Этотъ кругъ или, точн'Ье, пара круговъ, будетъ обладать т'ймъ свойствомъ, что 

 его окружность одновременно пройдетъ и черезъ дв-Ь данныя постоянныя точки и будетъ 

 касательна къ двумъ постояннымъ дугамъ большого круга. Указанный соотношен1я 

 демонстрированы на фиг. 24. На ней круги, полярные сами по отношен1ю къ себ-Ь отм-Ь- 

 чены поперечными черточками. 



Прим'Ьняя эту теор1ю къ ромбической сЬтк^, назовемъ круги, им'Ьюш,1е центрами 

 вершины одного рода и проходяш,1е чрезъ вершины другого рода главными. Если такой 

 кругъ проходитъ чрезъ п вершинъ, то кругъ, ему полярный, будетъ вписанъ въ СФериче- 

 скомъ многоугольник'Ь, стороны котораго есть поляры вершинъ перваго. Но такъ какъ 

 первые вершины выражаютъ точки касаехя одной изъ пары сопряженныхъ мезосФериче- 

 скихъ многогранниковъ, то стороны второго не что иное какъ дуги пересЬчетя Д1аметраль- 

 ныхъ плоскостей, параллельныхъ ткшъ же гранямъ. 



Сл']Ьдовательно, если съ одной стороны отм'Ьтимъ вей точки касан1я граней, а съ 

 другой стороны чрезъ центръ СФеры проведемъ параллельный ихъ плоскости, то найдемъ, 

 что черезъ первые точки будутъ проходить главные круги, всЬ одинаковые, а ко вторымъ 

 большимъ дугамъ большого круга въ соотв'Ьтственномъ числ-Ь будутъ касаться круги 

 полярные, тоже вей одинаковые, и притомъ им'Ьющ1е съ первыми обш,1е центры и эти 

 центры есть не что иное какъ точки касан1я граней другого, сопряженнаго, многогранника. 



Для пояснен1я на фиг. 2 5 проведено 1 9 дугъ большого круга соотв-Ьтственно 1 9 гра- 

 нямъ мезосФерическаго косого тетрагональнаго призмоэдра и полярный кругъ, предста- 

 вляющ1й граммастереограФическую проэкцтю одной изъ граней тетрагональнаго пентагонъ- 

 изоэдра. Мы видимъ, что посл'Ьдн1й касается пяти дугъ, соотв-йтствующихъ пяти различ- 

 нымъ гранямъ призмоэдра. 



Заканчивая этимъ изсл-йдоваше, мы не можемъ не отметить того обстоятельства, что 

 мы коснулись зд'Ьсь только первоначальныхъ элементовъ одного изъ элементарн'&йшихъ 

 вопросовъ учен1я о Фигурахъ (геометр1и Формъ), вопроса объ отъисканш многогранниковъ, 

 въ изв-Ьстномъ отношенш аналогичныхъ правильнымъ многоугольникамъ на плоскости; 

 чтобы двинуть вопросъ дальше, необходимо доказать н-Ьсколько капитальныхъ теоремъ, 

 который должны лечь въ основу полнаго р'Ьшенхя поставленнаго вопроса. 



ВсЬ полученные нами многогранники обладаютъ симметр1ей, хотя не всЬ предста- 

 вляютъ изоэдры или изогоны. Существуютъ ли мезосФерическ1е многогранники, не обла- 

 дающ1е симметр1ей? это остается для насъ вопросомъ, такъ какъ намъ не удалось открыть 

 ни одного такого, но не удалось доказать и ихъ невозможности. 



