о МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 28 



Отсюда видимъ, что 1,Л ыепрем'Ьнно больше 2(П. Такимъ образомъ эта разность есть своего 

 рода СФерическ1й избытокъ, выражающш величину площади пояса. 



Так1я разности мы могли бы составить для всЬхъ поясовъ. Отм'Ьтимъ ихъ для каждаго 

 пояса отд'Ьльно особыми значками. 



Получимъ 



^1 





2Л- 



-2Ш^ 



\ 





24- 



-2й1, 



\ 





И- 



-2а1^ 



Если сложимъ вс'Ь эти равенства, получимъ для суммы П двойную площадь всей сФеры, 

 такъ какъ каждый ромбъ есть пересЬченхе двухъ поясовъ, а его площадь повторяется въ 

 сумм-Ь два раза. По той же причин'1 повторяется въ общей сумм-Ь два раза и каждый уголъ 

 А^ а такъ какъ сумма этихъ угловъ около одной изъ вершинъ равна 4с?, то соответствующее 



суммирован1е приведетъ къ величин-! — ' ^ " " , гд'й п общее число вершинъ; наконецъ, сум- 

 мированхе величинъ I даетъ очевидно двойное число ромбовъ въ 2/", а потому 



Ы = Ы .п — Ы.( или п = (-Л- 2 2) 



Мы пришли къ изв-Ьстн-Ьйшей и элементарн'Ьйшей Формул-Ь, выражающей соотношен1е 

 между числомъ вершинъ и числомъ граней во всЬхъ тетрагональныхъ многогранникахъ. 

 Приложимость ея къ четырехугольнымъ сйтямъ внолн-Ь очевидна, а потому на этотъ вы- 

 водъ мы можемъ смотр-^ть лишь какъ на пров-^рку предъидущихъ Формулъ. 



Если мы въ каждомъ ромб-Ь пояса соединимъ прямою средины двухъ соотв'Ьтствен- 

 ныхъ сторонъ, то 1) каждая такая прямая, по упомянутымъ свойствамъ ромба пройдетъ 

 чрезъ его центръ, а 2) совокупность такихъ прямыхъ составитъ большой контуръ, о чемъ 

 непосредственно заключаемъ по равенству суммъ угловъ 1', 2', З', 4'... и 2\ 1', 4', З'... 

 Сл-Ьдовательно, каждая изъ этихъ суммъ въ отд-йльности равна 2й1. 



Легко доказать, что совокупность ромбовъ А! , В., С\ I)'. . ., прилежащихъ къ гра- 

 нямъ пояса, не можетъ составить пояса, ибо въ такомъ случа-Ь средн1е больш1е контуры 

 обоихъ поясовъ не пересЬклись бы между собою, а это невозможно. 



Это обозначаетъ, что никогда вс! вершины контуровъ одного и того же пояса не 

 могутъ быть четверными. Если вообще существуетъ смежный поясъ, то гд-Ь-нибудь онъ 

 долженъ пересЬчь поясъ начальный, такъ какъ вообще всЬ пояса должны пересЬкать другъ 

 друга по меньшей м-Ьр-Ь въ одной пар-Ь ромбовъ. Такое пересЬченхе влечетъ за собою при- 

 сутств1е въ этихъ контурахъ тройныхъ угловъ. 



О томъ, что въ каждой четырехугольной сЬти необходимо присутствуютъ тройные углы, 

 мы можемъ заключить и изъ Форм. 2). 



Въ самомъ д'Ьл'Ь, число всЬхъ угловъ равно 4/", а число вершинъ *г = /*-н 2. Сл-Ьдова- 

 тельно, среднее наименован1е вершинъ есть ^г^ = 3-4- 7— ^ < 4. 



