20 Е. С. Федоровъ. 



Итакъ, отъ введен1я въ контуръ какого угодно числа четырехугольниковъ мы всегда 

 можемъ изменить число сторонъ контура только на четное число. А такъ какъ, посл^^до- 

 вательно уменьшая число четырехугольниковъ внутри сЬти мы должны дойти до одного 

 единственнаго, въ коемъ число сторонъ четыре и сл'Ьдовательно четное, то значитъ чет- 

 нымъ должно быть число сторонъ и произвольнаго контура. 



Въ каждомъ четырехугольник-Ь мы можемъ различать дв-Ь пары противоположныхъ, 

 соотвгьтственныхъ сторонъ. 



Назовемъ поясомъ (сФерическимъ) такой, замыкающшся самъ собою рядъ четырех- 

 угольниковъ, каждый членъ котораго съ посл'Ьдующимъ и съ предъидущимъ связанъ со- 

 ответственными сторонами. 



На основан1и предъидущей теоремы мы при помощи этого опред'Ьлен1я получимъ 

 сл'Ьдств1е: есть пояса состоять изъ четнаго числа четырехугольниковъ. 



Въ самомъ д']Ьл'Ь, каждый поясъ отграничивается отъ остальной сЬти двумя конту- 

 рами, а число сторонъ каждаго изъ этихъ контуровъ равно числу четырехугольниковъ 

 пояса; сл-Ьдовательно, оно четное. 



Примгьчанге. Ради общности и точности доказательства нужно принять во вни- 

 ман1е, что контуры пояса есть контуры спецхализированные. И такъ какъ можетъ слу- 

 читься (что и увидимъ дальше), что поясъ можетъ пересекаться самъ съ собою, то 

 также образуются и взаимньш перес'еченхя каждаго изъ контуровъ самимъ собою. 

 Но въ такомъ случае между точками перес'Ьчен1я въ контуре появляются петли, и 

 къ каждой таковой въ отдельности можетъ быть приложена только что доказанная 

 теорема. А потому доказательство сохраняетъ свое значен1е и въ этихъ случаяхъ, 

 даже тогда, когда вся с^ть составлена однимъ единственнымъ поясомъ то есть когда 

 все четырехугольники, на которые распадается вся поверхность сети, выводятся 

 другъ изъ друга, прослеживая рядъ по соответственнымъ сторонамъ. 



Въ произвольной четырехуюльной сгьти можно различать два рода вершипъ. Изъ 

 полной совокупности вершинъ одного рода въ каждомъ четырехугольникт представлены 

 двгь противоположения. 



Пусть около некоторой вершины О (фиг. 20) сети сходится некоторое число четырех- 

 угольниковъ. По определен1ю, въ этой части сети вершины одного рода съ О будутъ 

 А, В, С. . . , а А', В\ С'. . . будутъ вершины другого рода. 



Каждая пара смежныхъ Фигуръ напр. ОА'ВВ', ОВ'СС' опредЬляетъ собою поясъ, и 

 въ нихъ вершины перваго рода мы получимъ, проводя д1агонали изъ О. Назовемъ контуръ 

 этого пояса, проходящ1й чрезъ О, первымъ, а проходящ1Й чрезъ В, вторымъ. Проводя по- 

 следовательно д1агонали, начиная отъ В^ мы получимъ въ поясе последовательный рядъ 

 вершинъ перваго рода: первою будетъ В, второю О, третьею С и т. д.; вообще четныя 

 вершины будутъ находиться на первомъ, а нечетньш на второмъ контуре; а такъ какъ 

 число Фигуръ въ поясе четное, то, пройдя последнюю вершину 2р, мы найдемъ для 



