о МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. 19 



НИКИ будемъ считать 5-го вида. И зд'Ьсь также какъ въ многогранникахъ 2-го и 4-го вида 

 число слоевъ будетъ число нечетное. 



Существенное отлич1е многогранниковъ 5-го вида отъ всЬхъ остальныхъ состоитъ 

 въ томъ, что въ посл'йднихъ тройные углы соотв-Ьтствуютъ только точкамъ а и потому 

 всегда им'Ьются только въ числЬ 2^\^, тогда какъ въ многогранникахъ 5-го вида тройные 

 углы соотв'Ьтствуютъ также точкамъ е (или <^), а потому им'1ются въ числ'Ь 4 Ж 



Нетрудно видеть, что многогранники различнаго вида будутъ отличаться' отчасти и 

 по симметрическимъ свойствамъ, а именно: многогранники 1-го и 3-го вида относятся къ 

 ди- 2У" — гонально-пирамидальному, а многогранники 2-го, 4-го и 5-го вида къ ди- 7^ — 

 гонально бипирамидальному виду симметр1и. Многогранники 2-го вида отъ многогранни- 

 ковъ 4-го вида отличаются и т'Ьмъ, что въ первыхъ вершины перваго рода находятся въ 

 главной плоскости симметр1и, а во вторыхъ это относится къ вершинамъ 2-го рода и т. п. 



Только что полученные результаты представляются отрывочными и разрозненными. 

 Если принять во внимаше, что въ нихъ заключается и полный выводъ мезосФерическихъ 

 изоэдровъ и изогоновъ, является потребность ■ въ теор1и, изъ которой съ логическою по- 

 сл'Ьдовательностью вытекъ бы тотъ же выводъ какъ нЬчто полное и законченное. 



Для построен1я этой теор1и понадобится введете и б-шжайшее изучен1е разныхъ но- 

 выхъ понят1й, а равно и воспользоваться н'Ькоторыми понят1ями, уже развитыми въ учен1и 

 о Фигурахъ. 



Назовемъ контуромъ (сФерическимъ) какую-нибудь ломанную лин1Ю на СФер'Ь, замы- 

 кающуюся сама въ себ'Ь. Разд'Ьленхе СФеры на многоугольники обусловливаетъ собою кк- 

 которую сгьть. Углубимся н'Ьсколько въ эти понят1я, и докажемъ теорему, по которой 

 всякш произвольный контуръ (которыхъ вообще можно провести много) въ четырехуголь- 

 ной сгьти сосшавлепъ изъ четнаго числа сторонъ. 



Пусть АВСВ. . . (фиг. 19) некоторый произвольный контуръ о р сторонахъ въ такой 

 сити. Къ каждой изъ его сторонъ АВ, ВС, СВ. . . примыкаетъ н-бкоторый четырехуголь- 

 никъ. При этомъ можемъ различать три и только три случая: 1) четырехугольникъ им'Ьетъ 

 съ контуромъ всего одну общую сторону напр. АВВА', 2) онъ им'Ьетъ съ контуромъ дв-! 

 общ1я стороны напр. ВСВС' и 3) онъ им-Ьегь съ контуромъ три общ1я стороны напр. 

 ВСВЕ. 



Въ первомъ случае отъ прибавлен1я четырехугольника контуръ увеличился на двЬ 

 стороны, такъ какъ вм-Ьсто одной стороны АВ явилось три АА!^ А'В' и В'В; во второмъ 

 случа'й число сторонъ контура не изм'Ьнилось, такъ какъ вм'Ьсто двухъ сторонъ ВС и СВ 

 явилось дв'Ь же стороны ВС' и С' В; въ третьемъ случа'Ь число сторонъ уменьшилось на 

 дв-Ь: вместо трехъ сторонъ ВС, СВ и ВЕ яшжжъ только одна сторона ВЕ. 



3* 



