о МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИЕАХЪ. 17 



наго слоя и центръ котораго есть точка О. Изм-Ьняя длины сторонъ ромбовъ, мы вм'ЬсгЬ 

 съ гЬмъ изм'Ьняемъ и рад1усы этихъ круговъ. 



Если точк-й О соотв'Ьтствуетъ ось симметр1и наименован1я В, то СФерическ1й трех- 

 угольникъ ОЛВ^ въ которомъ уголъ при о есть ^ , а углы при Лт1 В прямые (сл'Ьдова- 

 тельно также и углы О А и ОВ)^ опред'Ьлитъ собою все построен1е (фиг. 18). 



Оно сводится къ тому, что сначала откладываемъ Оа равную длин^Ь сторонъ ромбовъ, 

 загЬмъ опред^ляемъ точку Ъ такъ чтобы аЪ = Оа, загЬмъ с такъ, чтобы сЪ = аЬ и т. д. 

 Продолжая построеше, мы придемъ или къ такой точк-Ь с^, которая совпадаетъ съ В, 

 или къ такой точк-Ь е, которая совпадетъ съ Л, или къ такой точк'Ь <^, чтобы отр'йзокъ <^С 



(гд'Ь С средина ^.5) равнялся -^ , или наконецъ такой точк']Ь е, чтобы отр'Ьзокъ е(7 равнялся 



-у . Каждому изъ этихъ случаевъ соотв-Ьтствуотъ опред'Ьленная пара мезосФерическихъ 

 многогранниковъ этого особаго ряда. Мы можемъ ихъ различать какъ многогранники пер- 

 ваго, второго, третьяго и четвертаго вида. 



Въ первыхъ двухъ случаяхъ должно быть соблюдено услов1е, чтобы А(^ = Оа"^ ЛВ 

 или Ве= Оа"^ ЛВ. Во вторыхъ двухъ случаяхъ должно быть б^С= Уз Оа > Уа^^ или 

 еС=-'^/^Оа'р- ^2^^- Итакъ, во всЬхъ случаяхъ необходимымъ услов1емъ является, чтобы 

 Оа > ЛВ. Если это услов1е не соблюдено, разд-Ёленхе СФеры на ромбы по указанному 

 закону не можетъ быть достигнуто. Если же оно соблюдено, то построен1е можетъ быть 

 исполнено, и получится разд'Ьлен1е одного изъ упомянутыхъ четырехъ видовъ. 



Для этого докажемъ предварительно, что, увеличивая стороны ромбовъ, мы вм'Ьст'Ь 

 съ т-Ьмъ получимъ увеличен1е рад1усовъ всЬхъ круговъ Оа, ОЪ, Ос 



Въ самомъ д'Ьл'Ь, увеличимъ на безконечно-малую величину сторону ромбовъ, а сл-Ь- 

 довательно и Оа. Вм-Ьсто Оа получимъ Оа'. Если бы возможно было такое увеличен1е Оа, 

 чтобы ОЪ не увеличилось, то это значило бы, что аЪ = а'Ь то есть сторона аЪ была-бы 

 безконечно близка къ перпендикулярности къ Оа, и въ то же время аЪ была бы, по усло- 

 В1Ю, на конечную величину больше ч'Ьмъ ЛВ. 



Эти два услов1я противор'Ьчатъ другъ другу: если бы аЪ была перпендикулярна къ Оа, 

 то, проведя чрезъ В дугу малаго круга, центръ котораго I) былъ бы полюсомъ плоскости 

 ОЛ, мы нашли бы аВ > аЪ; аВ = ЛВ, а отсюда аЪ << ЛВ, что противно услов1ю. 



Также докажемъ и для каждой посл'Ьдующей точки с, что безконечно малое, а следо- 

 вательно и какое угодно конечное, увеличен1е сторонъ ромбовъ, приводящее с, въ положен1е с, 

 не совместимо съсохраненхемъсл'Ьдуюш.ей точки с1 на м^ст^, а темъбол^е ея приближен1я къ О. 



Отсюда усматриваемъ, что увеличивая, стороны ромбовъ, мы всегда такъ можемъ 

 передвинуть точки Ъ, с, Л. . . на СФер^, чтобы получить одинъ изъ четырехъ видовъ д^ле- 

 шя на ромбы, упомянутыхъ вьппе. 



Число слоевъ при вс^хъ значен1яхъ ТУ" можетъ быть взято произвольно отъ 

 2 до со. 



Зап. Фва.-Мат. Отд. 3 



