б Е. с. Федоровъ. 



то есть: точки касангя мезосферическихъ тетрагоналъныхъ изоэдровъ образуютъ на сфергь 

 нгькоторый линейный ошргьзокъ, но не занимаютъ части площади. 



Въ вид'Ь исключетпя для д1акисъ-додекаэдрическаго вида симметр1и является также 

 построение четырехугольниковъ : дв-Ь постоянныя точки Л VI Б (фиг. 4) соотв-Ьтствують 

 двойной и тройной оси симметрш; ЛС VI АВ постоянныя взаимно-перпендикулярныя пло- 



скости симметр1и ; уголъ СВВ равенъ у {А обозначаетъ прямой уголъ). Выбравъ произ- 

 вольно точку касан1я О, вращаемъ уголъ СВВ около 5, пока равнод'Ьлящая не пройдетъ 

 чрезъ О. Пусть точка О соотв-Ьтствуетъ центру описаннаго круга ; въ такомъ случае 

 О А = ОС = ОВ = ОВ; получится сумма внутреннихъ угловъ четырехугольника. 



2а -4- 2с ч- 4& = 2 (а-ьс) -»- 4& = 26^ н- у = ^1^, 



между т']Ьмъ какъ истинная постоянная сз^мма внутреннихъ угловъ есть 2 (24 ~*~ ^^^ ] = -д-. 



Итакъ, ни одинъ изъ четырехгранныхъ изоэдровъ д1акисъ-додекаэдрическаго вида 

 симметрш, не есть мезосФерическш. 



Вс'Ьмъ пентагональпымъ изоэдрамъ принадлежитъ переменное разд-^ленхе СФеры по 

 сл-Ьдующему закону. Им'Ьется три постоянныя точки А, В VI С, изъ которыхъ посл'Ьдней 

 соотв'Ьтствуетъ двойная ось симметр1и, а двумъ первьшъ — оси симметр1и высшаго на- 

 именовашя (фиг. 5). Взявъ произвольную точку О за точку касашя, получимъ соотв-Ьт- 

 ствующш пятиугольникъ, если одновременно такъ повернемъ углы ВАЕ около А, ВВР 

 около В, чтобы равнод'Ьлящ1я АО и ВО прошли чрезъ эту точку, а дугу ЕР повернемъ 

 около С такъ, чтобы перпендикулярная къ ней прямая СО прошла чрезъ ту же точку. 



Если взятая точка соотвЬтствуетъ точк'Ь касан1я мезосФерическаго изоэдра то есть 

 центру круга, описаннаго около его грани, то О А = О В = ОР = ОВ = ОЕ. Отсюда 

 ОЕА = 0АЕ=0АВ = 0ВА — а- ОВВ=ОВВ=:ОВР=ОРВ=Ъ', ОЕР=ОРЕ=с. 



Въ этомъ случа'Ь данными являются три величины: углы А ш В, зависящ1е отъ на- 

 именован1я соотвЬтственныхъ осей симметр1и, и сумма всЬхъ внутреннихъ угловъ, зави- 

 сящая отъ числа граней. Такъ какъ неизв'Ьстныхъ тоже три, а именно углы а, й и с, то 

 р'Ьшенхе для мезосФерическаго многогранника получается единичное. 



Теперь можемъ перейти къ частнымъ случаямъ то есть отд'Ьльнымъ видамъ симме- 

 тр1и, которые и переберемъ въ такомъ порядк']^: сначала разсмотримъ по порядку виды 

 симметр1и об'Ьихъ правпльпыхъ системъ — кубооктаэдрической и додекаэдро-икосоэдриче- 

 ской, а зат'Ьмъ каладаго изъ пяти или семи видовъ симметр1и п — тональной системы, гд-Ь 

 въ первомъ случаЬ п нечетное, а во второмъ четное число. 



* V 



