о МЕЗОСФЕРЙЧЕСКИХЪ МНОГОГРАНВИКАХЪ. |5 



(фиг. 2) трехугольника. Если 0^) точка касан1я грани, то площадь трехугольника разде- 

 ляется на три части ОБС, ОСА и ОАВ, представляюнця равнобедренные СФерическ1е 

 трехугольники съ углами а, Ъ, с; эти три посл'1дн1е угла легко вычисляются по даннымъ 

 тремъ первымъ, а эти углы всегда изв'Ьстны. Если всЬ углы а, Ъ, с получаютъ положи- 

 тельное значен1е, то мезосФерическ1й изоэдръ существуетъ, если одинъ изъ этихъ угловъ 

 ноль, то существуетъ тетрагональный изоэдръ, а получен1е отрицательнаго р'йшен1я будетъ 

 служить доказательствомъ невозможности. 



Если разд'Ьлен1е СФеры на трехугольники изм-Ьняется съ ноложен1емъ точекъ касан1я, 

 то мыслимо сущесгвован1е ряда мезосФерическихъ изоэдровъ, и останется опред']Ьлить гра- 

 ницы этого ряда. 



Тетрагональнымъ типическимъ изоэдрамъ всегда вообще соотвЬтствуютъ перем^нныя 

 разд'Ьлен1я СФеры на равные четырехугольники, если не считать особыхъ частныхъ слу- 

 чаевъ, о которыхъ ниже упомянуто особо. 



Законъ переменности выражается такъ (фиг. 3): имеются три постоянныя точки на 

 СФер'Ь, В л С, соответствующхе двойнымъ осями симметрхи, и А, соответствующая оси 

 симметрш высшаго наименован1я. По этой причине АВ = АЕ, ВВ = ВР^ СР = СЕ. 

 Выбравъ произвольную точку касан1я О, мы вращаемъ постоянный уголъ ЕАВ около А^ 

 пока равноделящая не пройдетъ чрезъ взятую точку, а дуги ВР и ЕР вращаемъ соответ- 

 ственно около В и С, пока перпендикулярныя къ нимъ СФерическ1я прямыя (позволимъ 

 себе впредь такъ называть дуги большого круга на СФере) ВО и СО тоже не пройдутъ 

 чрезъ ту же точку. Эгимъ построеп1емъ определится Форма четырехугольника, соответ- 

 ствующаго произвольно избранной точке касан1я; при этомъ величина площади СФериче- 

 скаго четырехугольника и упомянутый равенства сохраняютъ свое значен1е ^). 



Если данной точке касан1я О соответствуетъ мезосФерическ1й изоэдръ, то должно 

 существовать: АО = ВО = РО = ЕО. Изъ этихъ равенствъ, въ свою очередь, следуетъ 

 рядъ равенствъ угловъ между сторонами и прямыми, соединяющими точку О съ вершинами 

 того же четырехугольника. Соответственно равные углы означены на фиг. 3 одинаковыми 

 буквами а, Ь, с. Такъ какъ нанередъ данными величинами, определяюищми внутренн1е 

 углы четырехугольника, являются всего две, а именно А = 2», зависящая отъ наимено- 

 ван1я оси симметрхи, проходящей чрезъ точку А и сумма всехъ внутреннихъ угловъ, за- 

 висящая отъ величины площади четырехугольника то есть отъ числа граней, то является 

 неопределенность. Другими словами, изъ двухъ угловъ бис одинъ можетъ быть въ изве- 

 стныхъ пределахъ заданъ произвольно, и тогда однозначно определяется и величина дру- 

 гого изъ нихъ. Но такъ какъ неопределенность возникаетъ отъ избытка неизвестныхъ на 

 одну единицу, то число решен1й получается безконечнымъ перваго, а не второго порядка, 



1) Эта буква пропущена на Фигурахъ 2 и 3. 



2) Доказательство предполагающихся зд-Ьсь тео- 

 ремъ заключается въ Н. У. Ф. въ отд'Ьл^Ь III. Напр. 



спецшльно касающаяся этого случая теорема нахо- 

 дится въ § 48 и т. д. 



